Seja E=(e1, e2, e3) uma base positiva de V^3. Mostre que F=(e2, e1, e3) é uma base negativa de V^3 e que G=(e2, e3, e1) é uma base positiva de V^3. Por que isso acontece?

Passo 1

O enunciado nos dá uma base positiva
,E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3)
de V^3 e pede para mostrar que
,F=(overrightarrow e2,overrightarrow e1,overrightarrow e3)
é negativa, enquanto
,G=(overrightarrow e2,overrightarrow e3,overrightarrow e1)
é positiva. O conteúdo usado será o conceito de orientação em V^3 via determinante da matriz de mudança de base, e a relação dessa orientação com o sinal da permutação.

Passo 2

Lembrando que, se B=(b1,b2,b3) e B'=(b'1,b'2,b'3) são duas bases de V^3, a matriz de mudança de base A é tal que
(b'1,b'2,b'3)=(b1,b2,b3),A
A base B' tem a mesma orientação de B (é positiva em relação a B) se det A>0, e tem orientação oposta (é negativa) se det A<0.

Passo 3

Para F=(overrightarrow e2,overrightarrow e1,overrightarrow e3) a matriz de mudança de base P de E para F satisfaz
(overrightarrow e2,overrightarrow e1,overrightarrow e3) =(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3),P
e, olhando cada coluna, vemos
P = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 ,
que corresponde a trocar overrightarrow e1 com overrightarrow e2. Calculamos
det P = -1
Como det P<0, F é uma base negativa de V^3.

Passo 4

Para G=(overrightarrow e2,overrightarrow e3,overrightarrow e1) a matriz de mudança de base Q de E para G é
(overrightarrow e2,overrightarrow e3,overrightarrow e1) =(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3),Q,
com
Q = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 ,
que implementa o ciclo (1to2to3to1). Calculamos
det Q = +1
Como det Q>0, G é uma base positiva de V^3.

Passo 5

Isso acontece porque trocar dois vetores (uma transposição) é uma permutação ímpar e muda o sinal do determinante, enquanto um ciclo de três elementos é uma permutação par e mantém o sinal. Em geral, a orientação de uma base em V^n muda de acordo com o sinal da permutação que leva uma base na outra.

Resposta

F é uma base negativa de V^3 e G é uma base positiva de V^3.

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