Seja uma base positiva de V^3. Mostre que F=(e2, e1, e3) é uma base negativa de V^3 e que G=(e2, e3, e1) é uma base positiva de V^3. Por que isso acontece?
Passo 1
O enunciado nos dá uma base positiva ,E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3)
de V^3 e pede para mostrar que ,F=(overrightarrow e2,overrightarrow e1,overrightarrow e3)
é negativa, enquanto ,G=(overrightarrow e2,overrightarrow e3,overrightarrow e1)
é positiva. O conteúdo usado será o conceito de orientação em V^3 via determinante da matriz de mudança de base, e a relação dessa orientação com o sinal da permutação.
Passo 2
Lembrando que, se B=(b1,b2,b3) e B'=(b'1,b'2,b'3) são duas bases de V^3, a matriz de mudança de base A é tal que
(b'1,b'2,b'3)=(b1,b2,b3),A
A base B' tem a mesma orientação de B (é positiva em relação a B) se det A>0, e tem orientação oposta (é negativa) se det A<0.
Passo 3
Para F=(overrightarrow e2,overrightarrow e1,overrightarrow e3) a matriz de mudança de base P de E para F satisfaz
Isso acontece porque trocar dois vetores (uma transposição) é uma permutação ímpar e muda o sinal do determinante, enquanto um ciclo de três elementos é uma permutação par e mantém o sinal. Em geral, a orientação de uma base em V^n muda de acordo com o sinal da permutação que leva uma base na outra.
Resposta
F é uma base negativa de V^3 e G é uma base positiva de V^3.