Sejam E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) duas bases de V^3. Dado que E é uma base positiva, determine a orientação da base F em cada um dos casos:
lf1=e1 f2=3 e1+e2-e3 f3=e1+e2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a base F=(overrightarrow f1,overrightarrow f2,overrightarrow f3) tem a mesma orientação (positiva) que a base E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3). O conteúdo aqui é orientação de base em R^3, que se testa pelo sinal do determinante da matriz de mudança de base de E para F.

Passo 2

Escrevemos cada overrightarrow fj em coordenadas em relação a E:
overrightarrow f1 = overrightarrow e1 ;longrightarrow;(1,0,0), overrightarrow f2 = 3overrightarrow e1 + overrightarrow e2 - overrightarrow e3;longrightarrow;(3,1,-1), overrightarrow f3 = overrightarrow e1 + overrightarrow e2;longrightarrow;(1,1,0)
Assim a matriz de colunas é
P = 1 & 3 & 1 0 & 1 & 1 0 & -1 & 0

Passo 3

Calculamos o determinante de P:
det(P) = 1cdotdet1&1-1&0 -3cdotdet0&10&0 +1cdotdet0&10&-1 =1cdot(1cdot0-1cdot(-1))-3cdot0+1cdot(0cdot(-1)-1cdot0) =1

Passo 4

Como det(P)=1>0, a base F tem a mesma orientação positiva que E.

Resposta

A base F é positivamente orientada.

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