Determine a equaçäo(s) linear(s) que descrevem o sub-espaço W do espaço vetorial V dado:
V=R^3, W gerado pelos vetores [l1 1 0] e [c-1 2 3]

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=R^3 e o subespaço W gerado pelos vetores
v1=110, v2=-123
Como queremos a(s) equação(ões) linear(es) que descrevem W, vamos usar a ideia de que um plano (subespaço de dimensão 2 em R^3) pode ser caracterizado como o conjunto de vetores ortogonais a um vetor normal.

Passo 2

Primeiro verificamos que v1 e v2 são linearmente independentes (não há lambda tal que v2=lambda v1), logo dim W=2 e de fato W é um plano passando pela origem.

Passo 3

Para encontrar um vetor normal n ao plano gerado por v1 e v2, calculamos o produto vetorial
n = v1 times v2 = i&j&k 1&1&0 -1&2&3 = (1cdot3 - 0cdot2),i - (1cdot3 - 0cdot(-1)),j + (1cdot2 - 1cdot(-1)),k
implies n = (3,,-3,,3)

Passo 4

A equação do plano é dada por
ncdot(x,y,z)=0,
ou seja,
3x - 3y + 3z = 0
Dividindo tudo por 3 para simplificar, obtemos
x - y + z = 0

Resposta

A única equação linear que descreve o subespaço W é
x - y + z = 0

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