Determine a equaçäo(s) linear(s) que descrevem o sub-espaço do espaço vetorial dado: gerado pelos vetores
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V=R^3 e o subespaço
W=Spanl-120,,012,,-252r
Queremos encontrar uma (ou mais) equação(ões) lineares na forma implícita Ax=0 que descrevam exatamente esse plano W.
Passo 2
Primeiro verificamos se os três geradores são independentes. Note que, buscando constantes a,b tais que
a-120+b012 =-252,
pelas componentes na primeira linha temos -a= -2Rightarrow a=2. Na segunda linha 2a+b=5Rightarrow 4+b=5Rightarrow b=1. Na terceira 0cdot a+2b=2Rightarrow2=2. Logo
-252 =2-120 +1012,
isto é, só precisamos de dois vetores para gerar W. Então dim W=2 e W é um plano passando pela origem.
Passo 3
Para achar a equação implícita de um plano gerado por v1 e v2, basta calcular um vetor normal n= v1times v2. Tomando v1=(-1,2,0) e v2=(0,1,2), temos