Determine a equaçäo(s) linear(s) que descrevem o sub-espaço W do espaço vetorial V dado:
V=R^3, W gerado pelos vetores [c-1 2 0],[l0 1 2],[c-2 5 2]

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=R^3 e o subespaço
W=Spanl-120,,012,,-252r
Queremos encontrar uma (ou mais) equação(ões) lineares na forma implícita Ax=0 que descrevam exatamente esse plano W.

Passo 2

Primeiro verificamos se os três geradores são independentes. Note que, buscando constantes a,b tais que
a-120+b012 =-252,
pelas componentes na primeira linha temos -a= -2Rightarrow a=2. Na segunda linha 2a+b=5Rightarrow 4+b=5Rightarrow b=1. Na terceira 0cdot a+2b=2Rightarrow2=2. Logo
-252 =2-120 +1012,
isto é, só precisamos de dois vetores para gerar W. Então dim W=2 e W é um plano passando pela origem.

Passo 3

Para achar a equação implícita de um plano gerado por v1 e v2, basta calcular um vetor normal n= v1times v2. Tomando
v1=(-1,2,0) e v2=(0,1,2), temos
n = v1times v2 =(4,2,-1)

Passo 4

A equação implícita do plano W é dada por
ncdot(x,y,z)=0,
isto é,
4x+2y- z=0

Resposta

A equação linear que descreve o subespaço W é
4x+2y - z = 0

Exercícios relacionados