Considere os vetores abaixo e diga se são ou não a base do espaço vetorial dado:
a) V1=(1,2), V2=(0,3) e V3=(2,7) em R^2;
b) V1=(-1,3,2) e V2=(6,1,1) em R^3;
c) V1=(3,1,-4), V2=(2,5,6) e V3=(1,4,8) em R^3.

Passo 1

O enunciado pede verificar se cada conjunto de vetores forma base no espaço R^n. Para isso, devemos lembrar que um conjunto é base se e somente se
  1. os vetores são linearmente independentes, e
  2. o número de vetores coincide com a dimensão do espaço.

Passo 2

Para (a), estamos em R^2 e há 3 vetores: (1,2), (0,3) e (2,7). Como a dimensão de R^2 é 2, qualquer conjunto com mais de 2 vetores é linearmente dependente. De fato, podemos achar escalares a e b tais que
a(1,2)+b(0,3)=(2,7)
Resolvendo a=2 e 2a+3b=7 b=1, logo o terceiro é combinação linear dos dois primeiros. Assim, não forma base.

Passo 3

Para (b), estamos em R^3 e há apenas 2 vetores (-1,3,2) e (6,1,1). Como a dimensão de R^3 é 3, um conjunto com menos de 3 vetores não consegue gerar todo o espaço (não satisfaz a condição do número de vetores). Logo, não forma base.

Passo 4

Para (c), estamos em R^3 com 3 vetores (3,1,-4), (2,5,6) e (1,4,8). Aqui o número de vetores coincide com dimR^3=3, então basta verificar se são linearmente independentes, o que pode ser feito calculando o determinante da matriz formada por eles:
det 3 & 2 & 1 1 & 5 & 4 -4 & 6 & 8 =3cdot(5cdot8-4cdot6)-2cdot(1cdot8-4cdot(-4))+1cdot(1cdot6-5cdot(-4)) =48-48+26=26neq0
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam base de R^3.

Resposta

(a) Não.
(b) Não.
(c) Sim.

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