Considere os vetores abaixo e diga se são ou não a base do espaço vetorial dado:
a) e ;
b) e em ;
c) e em .
Passo 1
O enunciado pede verificar se cada conjunto de vetores forma base no espaço . Para isso, devemos lembrar que um conjunto é base se e somente se
os vetores são linearmente independentes, e
o número de vetores coincide com a dimensão do espaço.
Passo 2
Para (a), estamos em e há 3 vetores: , e . Como a dimensão de é , qualquer conjunto com mais de 2 vetores é linearmente dependente. De fato, podemos achar escalares e tais que
Resolvendo e dá , logo o terceiro é combinação linear dos dois primeiros. Assim, não forma base.
Passo 3
Para (b), estamos em e há apenas 2 vetores e . Como a dimensão de é , um conjunto com menos de 3 vetores não consegue gerar todo o espaço (não satisfaz a condição do número de vetores). Logo, não forma base.
Passo 4
Para (c), estamos em com 3 vetores , e . Aqui o número de vetores coincide com , então basta verificar se são linearmente independentes, o que pode ser feito calculando o determinante da matriz formada por eles:
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam base de R^3.