Sejam W o espaço gerado por V1=(-1,1,0) e V2=(-1,0,1) e E o espaço gerado por V3=(1,0,-4) e V4=(0,1,-2). Determine os vetores que são combinações lineares de V1 e V2 que são também combinações lineares de V3 e V4.

Passo 1

O enunciado define os subespaços
com ,
e
com , .
Queremos achar
, isto é, todos os vetores que podem ser escritos simultaneamente como combinação linear de e de .

Passo 2

Seja
x = a,V1 + b,V2 e x = c,V3 + d,V4
Escrevendo em coordenadas, obtemos
(-a - b,;a,;b) = (c,;d,;-4c - 2d),
o que gera o sistema
-a - b = c, a = d, b = -4c - 2d

Passo 3

Da segunda equação segue d=a. Substituindo em c=-a-b e em b=-4c-2d, temos
b = -4(-a - b) - 2a = 4a + 4b -2a = 2a +4b ;Longrightarrow; -3b = 2a ;Longrightarrow; a = -tfrac32b
Logo
d = a = -tfrac32b, c = -a - b = tfrac12b
Tomando b=t como parâmetro livre, obtemos
a = -tfrac32t, c = tfrac12t, d = -tfrac32t

Passo 4

Em temos
Portanto

Resposta

Wcap E = lambda,(1,-3,2)mid lambdainR

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