Seja V=R^3. Verifique, em cada um dos itens, se S é um subespaço vetorial de V:
a) S=(x, y, 0), x, y in R;
b) S=(x, y, z) in R^3: 2 x+3 y-4 z=0.

Passo 1

O enunciado pede para checar, em cada caso, se um subconjunto , com , é um subespaço vetorial. Lembrando que um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço se e somente se (i) o vetor zero de pertence a , (ii) é fechado sob soma de vetores e (iii) é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Considere primeiro
O vetor zero de é , que tem a terceira componente igual a zero, logo . Sejam e em . Então
e a terceira componente continua zero, de modo que a soma está em . Para qualquer ,
Portanto satisfaz (i), (ii) e (iii) e é subespaço de .

Passo 3

Agora considere
O vetor zero satisfaz , logo . Se e estão em , então
portanto a soma pertence a . Para qualquer ,
logo o múltiplo escalar também fica em . Assim satisfaz as três condições e é um subespaço de .

Resposta

(a) é subespaço vetorial de .
(b) é subespaço vetorial de .

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