Seja
. Verifique, em cada um dos itens, se
é um subespaço vetorial de V:
a)
;
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para checar, em cada caso, se um subconjunto
, com , é um subespaço vetorial. Lembrando que um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se (i) o vetor zero de
pertence a
, (ii)
é fechado sob soma de vetores e (iii)
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Considere primeiro
O vetor zero de é
, que tem a terceira componente igual a zero, logo
. Sejam
e
em
. Então
e a terceira componente continua zero, de modo que a soma está em
. Para qualquer ,
Portanto
satisfaz (i), (ii) e (iii) e é subespaço de .
Passo 3
Agora considere
O vetor zero
satisfaz
, logo
. Se
e
estão em
, então
portanto a soma pertence a
. Para qualquer ,
logo o múltiplo escalar também fica em
. Assim
satisfaz as três condições e é um subespaço de .
Resposta
(a)
é subespaço vetorial de .
(b) é subespaço vetorial de .
(b)