Considere os vetores
de módulos unitários. Se a soma vetorial desses mesmos vetores é nula, calcule a soma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores,
,
e
, todos com módulo igual a 1 (ou seja, são vetores unitários). A soma desses vetores é igual a zero:
. Nosso objetivo é calcular a soma dos produtos escalares deles:
. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de vetores e produtos escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu módulo. Como todos os vetores são unitários, temos:
Passo 3
Agora, vamos considerar a soma dos três vetores:
Se a gente der um produto escalar de ambos os lados dessa equação com ele mesmo, fica:
Passo 4
Expandindo o produto escalar do lado esquerdo:
Isso simplifica para:
Porque
, e assim por diante.
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Subtraindo 3 dos dois lados:
Passo 6
Finalmente, dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
A soma
é igual a
.