Considere os vetores alpha, beta, gamma de módulos unitários. Se a soma vetorial desses mesmos vetores é nula, calcule a soma alpha cdot beta+alpha cdot gamma+beta cdot gamma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores, alpha, beta e gamma, todos com módulo igual a 1 (ou seja, são vetores unitários). A soma desses vetores é igual a zero: alpha + beta + gamma = 0. Nosso objetivo é calcular a soma dos produtos escalares deles: alpha cdot beta + alpha cdot gamma + beta cdot gamma. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de vetores e produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu módulo. Como todos os vetores são unitários, temos:
alpha cdot alpha = 1 beta cdot beta = 1 gamma cdot gamma = 1

Passo 3

Agora, vamos considerar a soma dos três vetores:
alpha + beta + gamma = 0
Se a gente der um produto escalar de ambos os lados dessa equação com ele mesmo, fica:
(alpha + beta + gamma) cdot (alpha + beta + gamma) = 0 cdot 0 = 0

Passo 4

Expandindo o produto escalar do lado esquerdo:
alpha cdot alpha + alpha cdot beta + alpha cdot gamma + beta cdot alpha + beta cdot beta + beta cdot gamma + gamma cdot alpha + gamma cdot beta + gamma cdot gamma = 0
Isso simplifica para:
1 + 1 + 1 + 2(alpha cdot beta + alpha cdot gamma + beta cdot gamma) = 0
Porque alpha cdot beta = beta cdot alpha, e assim por diante.

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
3 + 2(alpha cdot beta + alpha cdot gamma + beta cdot gamma) = 0
Subtraindo 3 dos dois lados:
2(alpha cdot beta + alpha cdot gamma + beta cdot gamma) = -3

Passo 6

Finalmente, dividindo ambos os lados por 2:
alpha cdot beta + alpha cdot gamma + beta cdot gamma = -32

Resposta

A soma alpha cdot beta + alpha cdot gamma + beta cdot gamma é igual a -32.

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