O lado que forma a base de um triângulo equilátero tem um comprimento
. Determine a área desse triângulo por meio de um produto vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo equilátero onde cada lado mede $ l = 3 $ metros. O que a gente precisa fazer é calcular a área desse triângulo usando produto vetorial. Pra isso, vamos precisar entender um pouco de vetores e como o produto vetorial pode nos ajudar a encontrar a área de figuras geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que num triângulo equilátero todos os lados são iguais e todos os ângulos internos medem 60 graus. Para usar o produto vetorial, a gente vai considerar dois vetores que representam os lados do triângulo que formam a base.
Passo 3
Vamos chamar os dois vetores de $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $. Como os lados são iguais, temos que $ |\vec{u}| = |\vec{v}| = 3 $ metros. O ângulo entre eles é de 60 graus.
Passo 4
A área de um paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Onde $ \theta $ é o ângulo entre $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $.
Passo 5
Como queremos a área do triângulo, e o triângulo é metade do paralelogramo formado pelos mesmos vetores, a fórmula fica:
Passo 6
Substituindo os valores que já sabemos:
Sabemos que $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Então:
Resposta
A área do triângulo equilátero é $ \frac{9\sqrt{3}}{4} $ metros quadrados.