Decomponha o vetor v=(-1,2,-3) em dois vetores a e b, tais que a|mid b e a perp w, com w=(2,1,-1).

Passo 1

Vamos decompor o vetor v = (-1, 2, -3) em dois vetores a e b, de forma que:
  • a seja paralela a b ( a paral<=l b).
  • a seja perpendicular ao vetor w = (2, 1, -1) ( a perp w).
Para resolver isso, precisamos entender conceitos de vetores paralelos e perpendiculares, além de saber como decompor um vetor em outros dois vetores que satisfazem essas condições.

Passo 2

Primeiro, como a é paralela a b, isso significa que b é um múltiplo escalar de a. Vamos assumir que b = ka, onde k é um número real.

Passo 3

Sabemos que v = a + b. Substituindo b por ka, temos:
v = a + ka = (1 + k)a
Isso implica que:
a = v1 + k

Passo 4

Agora, usando a condição de que a é perpendicular a w, o produto escalar entre a e w deve ser zero:
a cdot w = 0
Substituindo a:
( v1 + k ) cdot w = 0
Isso resulta em:
v cdot w1 + k = 0

Passo 5

Calculando o produto escalar v cdot w:
v cdot w = (-1)(2) + (2)(1) + (-3)(-1) = -2 + 2 + 3 = 3
Substituindo de volta:
31 + k = 0
Para que essa equação seja verdadeira, o numerador deve ser zero. Porém, 3 neq 0, o que implica que não existe um valor de k que satisfaça a equação.

Resposta

Não existe uma decomposição não trivial do vetor v = (-1, 2, -3) em dois vetores a e b, onde a paral<=l b e a perp w com w = (2, 1, -1). A única solução possível é a = 0 e b = v.

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