(0,3) Considere os vetores (a, b) e (c, d) no R^2. Analise as condições para que eles sejam L.D. Analise as condições para que eles sejam L. I.

Passo 1

O enunciado pede as condições para que os vetores (a,b) e (c,d) em R^2 sejam linearmente dependentes ou independentes. O conteúdo de matéria é dependência e independência linear de vetores em R^2 e vamos usar a definição de combinação linear e o determinante da matriz formada pelas componentes.

Passo 2

Pela definição, (a,b) e (c,d) são linearmente dependentes se existem escalares alpha e beta, não ambos zero, tais que
alpha,(a,b) + beta,(c,d) = (0,0)
Isso gera o sistema
alpha,a + beta,c = 0, alpha,b + beta,d = 0

Passo 3

O sistema acima tem solução não trivial (com alpha,beta não ambos zero) se, e somente se, a matriz dos coeficientes
a & c b & d
não for invertível, isto é, se o seu determinante for zero:
det a & c b & d = ad - bc = 0
Logo, (a,b) e (c,d) são linearmente dependentes quando ad - bc = 0.

Passo 4

Por outro lado, vetores são linearmente independentes quando a única combinação linear que produz o vetor nulo é a combinação trivial ( alpha=beta=0). Isso ocorre exatamente quando a matriz acima é invertível, ou seja, quando
ad - bc neq 0

Resposta

As condições são:
  • Linearmente dependentes se, e somente se, ad - bc = 0.
  • Linearmente independentes se, e somente se, ad - bc neq 0.

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