Considere os vetores
e
no
. Analise as condições para que eles sejam L.D. Analise as condições para que eles sejam L. I.
Passo 1
O enunciado pede as condições para que os vetores
e
em
sejam linearmente dependentes ou independentes. O conteúdo de matéria é dependência e independência linear de vetores em
e vamos usar a definição de combinação linear e o determinante da matriz formada pelas componentes.
Passo 2
Pela definição,
e
são linearmente dependentes se existem escalares
e
, não ambos zero, tais que
Isso gera o sistema
Passo 3
O sistema acima tem solução não trivial (com
não ambos zero) se, e somente se, a matriz dos coeficientes
não for invertível, isto é, se o seu determinante for zero:
Logo,
e
são linearmente dependentes quando
.
Passo 4
Por outro lado, vetores são linearmente independentes quando a única combinação linear que produz o vetor nulo é a combinação trivial (
). Isso ocorre exatamente quando a matriz acima é invertível, ou seja, quando
Resposta
As condições são:
- Linearmente dependentes se, e somente se,
. - Linearmente independentes se, e somente se,
.