Defina matriz ortogonal e dê três exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é uma matriz ortogonal e em seguida apresentar três exemplos concretos. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais precisamente a noção de ortogonalidade de vetores aplicada às colunas (ou linhas) de uma matriz.

Passo 2

Uma matriz AinR^ntimes n é dita ortogonal se as suas colunas formam um conjunto ortonormal, ou seja, se e somente se
A^TA = In,
onde In é a matriz identidade de ordem n. Da relação acima segue que A^-1=A^T e que det(A)=pm1.

Passo 3

Exemplo 1: a própria matriz identidade de ordem n é ortogonal, pois
In^TIn=In

Passo 4

Exemplo 2: rotação no plano R^2 pelo ângulo theta. A matriz
R(theta)= costheta & -sintheta sintheta & costheta
satisfaz R(theta)^TR(theta)=I2, logo é ortogonal.

Passo 5

Exemplo 3: reflexão em relação ao eixo x em R^2. A matriz
Q= 1 & 0 0 & -1
satisfaz Q^TQ=I2, portanto também é ortogonal.

Resposta

Definição: uma matriz AinR^ntimes n é ortogonal se
A^TA = In
Exemplos:
  1. In.
  2. R(theta)=costheta & -sinthetasintheta & costheta
  3. Q=1 & 00 & -1

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