(0,4) Dado o sistema linear S, mostre que o conjunto dos vetores (x, y, z) in R^3 solução de S é um subespaço vetorial de R^3. Também, encontre uma base e a dimensão desse subespaço:
S=c x+y+z=0 2 x+3 y+3 z=0 x+2 y+2 z=0

Passo 1

O enunciado define o sistema homogêneo em
e pede: (i) mostrar que o conjunto das soluções de ; (ii) encontrar uma base e a dimensão desse subespaço. Vamos usar conceitos de espaços vetoriais e eliminação de Gauss para resolver.

Passo 2

Para ver que o conjunto V=(x,y,z)in R^3mid (x,y,z) satisfaz S é subespaço, basta notar que S é homogêneo (termos independentes iguais a zero). Então, se u e v satisfazem S, toda combinação linear
alpha, u+beta, v
também satisfaz, pois nas equações aparecem apenas somas e produtos por escalares. Assim V contém o vetor nulo, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, logo é subespaço de R^3.

Passo 3

Vamos resolver o sistema por eliminação: montamos a matriz ampliada e reduzimos:
Agora usamos
Isso dá o sistema equivalente
Tomando (z=t] como parâmetro livre, obtemos

ou seja

Passo 4

Da forma paramétrica vemos que todo vetor solução é um múltiplo de (0,-1,1). Logo um gerador (e base) do subespaço é
(0,-1,1),
e, sendo apenas um vetor em uma base, a dimensão desse subespaço é
dim V = 1

Resposta

O conjunto das soluções de S é um subespaço de R^3 gerado por (0,-1,1), e sua dimensão é 1.

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