Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma matriz que não seja a matriz zero e que, quando a gente multiplica ela por si mesma cinco vezes (), o resultado seja a matriz zero. Isso envolve o conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre matrizes nilpotentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que, ao ser elevada à quinta potência, vire zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz nilpotente. Uma matriz é chamada de nilpotente se existe um número inteiro positivo tal que , onde é a matriz zero. No nosso caso, queremos que .
Passo 3
Uma maneira simples de construir uma matriz nilpotente é criar uma matriz triangular superior (ou inferior) com zeros na diagonal principal. Essas matrizes têm a propriedade de que, ao serem elevadas a uma certa potência, acabam se tornando a matriz zero.
Passo 4
Vamos construir uma matriz com zeros na diagonal principal e uns logo acima dela. Essa configuração garante que, ao multiplicarmos a matriz por si mesma repetidamente, as entradas irão “mover” para cima a cada multiplicação, e após cinco multiplicações, todas as posições serão zero.
Passo 5
Aqui está um exemplo de tal matriz:
Passo 6
Vamos verificar que A^5 = 0 . Multiplicando A por si mesma cinco vezes, cada multiplicação “empurra” os uns uma posição para cima. Após cinco multiplicações, todos os uns saem da matriz, restando apenas zeros.
Passo 7
Assim, temos uma matriz não nula A tal que A^5 = 0 , exatamente o que a questão pede.
Resposta
Um exemplo é a matriz 5 times 5 com zeros na diagonal e uns na superdiagonal: