Dê um exemplo de uma matriz A não nula tal que A^5=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma matriz A que não seja a matriz zero e que, quando a gente multiplica ela por si mesma cinco vezes ( A^5 ), o resultado seja a matriz zero. Isso envolve o conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre matrizes nilpotentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir uma matriz que, ao ser elevada à quinta potência, vire zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz nilpotente. Uma matriz A é chamada de nilpotente se existe um número inteiro positivo k tal que A^k = 0 , onde 0 é a matriz zero. No nosso caso, queremos que k = 5 .

Passo 3

Uma maneira simples de construir uma matriz nilpotente é criar uma matriz triangular superior (ou inferior) com zeros na diagonal principal. Essas matrizes têm a propriedade de que, ao serem elevadas a uma certa potência, acabam se tornando a matriz zero.

Passo 4

Vamos construir uma matriz A 5 times 5 com zeros na diagonal principal e uns logo acima dela. Essa configuração garante que, ao multiplicarmos a matriz por si mesma repetidamente, as entradas irão “mover” para cima a cada multiplicação, e após cinco multiplicações, todas as posições serão zero.

Passo 5

Aqui está um exemplo de tal matriz:
A = 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0

Passo 6

Vamos verificar que A^5 = 0 . Multiplicando A por si mesma cinco vezes, cada multiplicação “empurra” os uns uma posição para cima. Após cinco multiplicações, todos os uns saem da matriz, restando apenas zeros.

Passo 7

Assim, temos uma matriz não nula A tal que A^5 = 0 , exatamente o que a questão pede.

Resposta

Um exemplo é a matriz 5 times 5 com zeros na diagonal e uns na superdiagonal:
A = 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Essa matriz satisfaz A^5 = 0 .

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