Considere os vetores u=(-2,-1,1) e v=(1,-4,-1). Qual é o ângulo formado entre u e proju v ? Justifique!

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=(-2,-1,1) e v=(1,-4,-1) e pede o ângulo entre u e projuv.
Para resolver, vamos usar a definição de projeção ortogonal e a relação entre produto escalar e cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Calculemos primeiro o produto escalar ucdotv e o quadrado da norma de u:
ucdotv =(-2)cdot1+(-1)cdot(-4)+1cdot(-1) =-2+4-1=1,
|u|^2 =(-2)^2+(-1)^2+1^2 =4+1+1=6

Passo 3

Pela definição,
projuv =ucdotv|u|^2,u =16,u
Logo projuv é exatamente um múltiplo escalar positivo de u.

Passo 4

Quando um vetor é múltiplo escalar positivo de outro, eles apontam na mesma direção. Assim o ângulo theta entre eles satisfaz
costheta =ucdotl(projuvr) |u|;l|projuvr| =1 Longrightarrow theta=0^circ

Resposta

O ângulo formado entre u e projuv é 0^circ.

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