Os pontos A(3,3,5), B(2,1,3) e C(0,4,1) são vértices de um triângulo retângulo? Justifique!

Passo 1

Temos os pontos A(3,3,5), B(2,1,3) e C(0,4,1) em R^3. Para checar se formam um triângulo retângulo, vamos usar a distância entre pontos e aplicar o Teorema de Pitágoras no espaço (ou seja, verificar se a soma dos quadrados de dois lados coincide com o quadrado do terceiro).

Passo 2

Primeiro, determinamos os vetores entre os pontos e calculamos suas normas ao quadrado:
AB=B-A=(2-3,,1-3,,3-5)=(-1,-2,-2)
BC=C-B=(0-2,,4-1,,1-3)=(-2,3,-2)
AC=C-A=(0-3,,4-3,,1-5)=(-3,1,-4)
|AB|^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = 9
|BC|^2 = (-2)^2 + 3^2 + (-2)^2 = 17
|AC|^2 = (-3)^2 + 1^2 + (-4)^2 = 26

Passo 3

Observamos que
|AB|^2 + |BC|^2 = 9 + 17 = 26 = |AC|^2
Isso coincide exatamente com o Teorema de Pitágoras, o que implica que o ângulo entre BA e BC é reto. Logo, o triângulo é retângulo em B.

Resposta

Sim. O triângulo de vértices A, B e C é retângulo em B.

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