Encontrar os números a1 e a2 tais que w=a1 u+a2 v, sendo u=(1,-2,1), v=(2,0,-4) e w=(- 4,-4,14).

Passo 1

O enunciado pede encontrar a1 e a2 tais que
vec w = a1vec u + a2vec v
com vec u=(1,-2,1), vec v=(2,0,-4) e vec w=(-4,-4,14).
Vamos usar combinação linear de vetores e igualdade componente a componente, gerando um sistema linear em a1 e a2.

Passo 2

Igualando as componentes de vec w à combinação de vec u e vec v, obtemos o sistema
a1 + 2a2 = -4, -2a1 + 0cdot a2 = -4, a1 - 4a2 = 14

Passo 3

Resolvendo por substituição: da segunda equação
-2a1 = -4
vem
a1 = 2
Substituindo em a1 + 2a2 = -4, temos
2 + 2a2 = -4 ;Longrightarrow; 2a2 = -6 ;Longrightarrow; a2 = -3

Passo 4

Verificamos na terceira equação para garantir consistência:
a1 - 4a2 = 2 - 4(-3) = 2 + 12 = 14,
o que confirma a solução.

Resposta

a1 = 2
a2 = -3

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