Considere os vetores
V1=(c -1 1 1 0 ), V2=(l 0 1 2 1 ), V3=(l 0 1 0 1 ) e V4=(c 0 2 1 -1 )
Aplique o método de Gram-Schmidt a V1, V2, V3 e V4 para encontrar uma base ortogonal de R^4.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos os vetores
V1=(-1,1,1,0), V2=(0,1,2,1), V3=(0,1,0,1), V4=(0,2,1,-1)
em R^4 e queremos aplicar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de R^4.
Conteúdo: processo de ortogonalização usando o produto interno usual e a projeção
proju(v)=lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u,
onde lang<= a,brang<= é o produto escalar padrão e |u|^2=lang<= u,urang<=.

Passo 2

Definimos
u1=V1=(-1,1,1,0)
Calculamos |u1|^2=(-1)^2+1^2+1^2+0^2=3.

Passo 3

Para obter u2 ortogonal a u1, fazemos
lang<= V2,u1rang<==0cdot(-1)+1cdot1+2cdot1+1cdot0=3,
logo
u2=V2-33u1=(0,1,2,1)-(-1,1,1,0)=(1,0,1,1)

Passo 4

Para u3, subtraímos projeções sobre u1 e u2:
lang<= V3,u1rang<==1, lang<= V3,u2rang<==1, |u2|^2=3
Então
u3 =V3-13u1-13u2 =(0,1,0,1)-tfrac13(-1,1,1,0)-tfrac13(1,0,1,1) =(0,tfrac23,-tfrac23,tfrac23)
Para simplificar coordenadas, escalonamos por 3 e definimos
u3'=(0,2,-2,2),
que mantém a ortogonalidade.

Passo 5

Para u4, calculamos
lang<= V4,u1rang<==3, lang<= V4,u2rang<==0, lang<= V4,u3'rang<==0
Assim
u4 =V4-33u1 =(0,2,1,-1)-(-1,1,1,0) =(1,1,0,-1)

Resposta

Uma base ortogonal de R^4 obtida pelo método de Gram–Schmidt é
,(-1,1,1,0),;(1,0,1,1),;(0,2,-2,2),;(1,1,0,-1)

Exercícios relacionados