Seja A=(ccc3 & -2 & 2 4 & 3 & 0 0 & 6 & -3).
A matriz A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que P^-1 A P é diagonal; se não for, justifique.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 3 & -2 & 2 4 & 3 & 0 0 & 6 & -3
e pergunta se A é diagonalizável. Para isso, vamos achar o polinômio característico, obter os autovalores (e verificar se são distintos) e em seguida encontrar uma base de autovetores que nos fornece a matriz P tal que
P^-1 A,P = D
é diagonal.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = 3-lambda & -2 & 2 4 & 3-lambda & 0 0 & 6 & -3-lambda
Fazendo a expansão e simplificando, chega-se a
det(A - lambda I) =lambda^3 -3lambda^2 -lambda +3 =(lambda-1)(lambda-3)(lambda+1)
Portanto os autovalores são
lambda1=1, lambda2=3, lambda3=-1

Passo 3

Como os três autovalores são distintos, concluímos que A é diagonalizável sobre R. Agora só falta achar um autovetor para cada autovalor.

Passo 4

Para
cuja solução geral é (v_1=(1,-2,-3)^T].
Para
cuja solução geral é (v_2=(0,1,1)^T].
Para
cuja solução geral é (v_3=(1,-1,-3)^T].

Passo 5

Tomando
P = l[v1;v2;v3r] = 1 & 0 & 1 -2 & 1 & -1 -3 & 1 & -3 ,
temos que
P^-1 A,P = 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

A matriz A é diagonalizável e uma escolha de P é
P = 1 & 0 & 1 -2 & 1 & -1 -3 & 1 & -3 ,
de modo que
P^-1 A,P = diag(1,3,-1)

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