Considere os vetores
V1=(c 1 -2 1 ), V2=(c 3 -4 1 ) e V3=(l 1 0 0 )
Aplique o método de Gram-Schmidt a V1, V2, V3 para encontrar uma base ortogonal W1, W2, W3 de R^3.

Passo 1

O enunciado pede aplicar o método de Gram–Schmidt ao conjunto V1,V2,V3 em R^3 para obter uma base ortogonal W1,W2,W3. Vamos usar que, dado um vetor v e um vetor não nulo u, a projeção de v sobre u é
proju(v) =lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u,
onde lang<= x,yrang<= é o produto interno padrão em R^3.

Passo 2

Definimos o primeiro vetor ortogonal como
W1=V1 =1-21

Passo 3

Para obter W2, subtraímos de V2 sua projeção em W1. Calculamos
lang<= V2,W1rang<= =3cdot1+(-4)cdot(-2)+1cdot1=12, lang<= W1,W1rang<= =1^2+(-2)^2+1^2=6,
projW1(V2) =126,W1=21-21 =2-42,
W2=V2-projW1(V2) =3-41 -2-42 =10-1

Passo 4

Para W3, subtraímos de V3 as projeções em W1 e em W2. Primeiro
lang<= V3,W1rang<= =1cdot1+0cdot(-2)+0cdot1=1, projW1(V3) =16,W1 =1/6-1/31/6
Em seguida
lang<= V3,W2rang<= =1cdot1+0cdot0+0cdot(-1)=1, lang<= W2,W2rang<= =1^2+0^2+(-1)^2=2,
projW2(V3) =12,W2 =1/20-1/2
Logo
W3 =V3-projW1(V3)-projW2(V3) =100 -1/6-1/31/6 -1/20-1/2 =1/31/31/3

Passo 5

Como só importa a direção dos vetores para formar uma base ortogonal, podemos ainda escalar W3 por 3 para obter coordenadas inteiras:
W3=111

Resposta

W1=1-21,
W2=10-1,
W3=111

Exercícios relacionados