Considere os vetores de R^4 v1=(10,1,-1,3), v2=(3,2,-1,-1), v3=(1,4,8,1), v4=(4,3,3,4), v5=(3,1,1,0).
(b) R^4=[v1, v2, v3, v4, v5] ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
R^4 = [v1,v2,v3,v4,v5].
O conteúdo aqui é espaço gerado e posto de matriz: vamos calcular a dimensão do subespaço gerado pelos vetores e comparar com dim(R^4)=4.

Passo 2

Formamos a matriz AinR^4times5 cujas colunas são v1,dots,v5 e aplicamos eliminação de Gauss para encontrar seu posto:
A = 10 & 3 & 1 & 4 & 3 1 & 2 & 4 & 3 & 1 -1 & -1 & 8 & 3 & 1 3 & -1 & 1 & 4 & 0

Passo 3

Agrupando as operações de linha essenciais, obtemos a forma escalonada por linhas de A:
1 & 2 & 4 & 3 & 1 0 & 1 & 12 & 6 & 2 0 & 0 & 165 & 76 & 27 0 & 0 & 0 & 557165 & -156165

Passo 4

Na forma escalonada aparecem 4 linhas não-nulas, logo
posto(A) = 4
Isso implica
diml([v1,dots,v5]r)=4.

Passo 5

Como diml([v1,dots,v5]r)=4=dim(R^4), concluímos que o subespaço gerado por esses vetores é todo R^4.

Resposta

Sim. R^4 = [v1,v2,v3,v4,v5].

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