Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases de R^3 ? Justifique sua resposta
(a) (1,3,2),(8,-9,2),(10,0,23);

Passo 1

A questão pergunta se os três vetores
(1,3,2), (8,-9,2) e (10,0,23)
formam uma base de R^3.
Lembrando que em R^3 um conjunto de três vetores é base se, e somente se, eles forem linearmente independentes (ou seja, seu determinante for diferente de zero).

Passo 2

Para verificar a independência, colocamos esses vetores como colunas de uma matriz A:
A = 1 & 8 & 10 3 & -9 & 0 2 & 2 & 23
Vamos calcular det(A). Se det(A)neq 0, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam base.

Passo 3

Calculando o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet-9 & 02 & 23 -8cdotdet3 & 02 & 23 +10cdotdet3 & -92 & 2
Agora cada menor:
det-9 & 02 & 23 =-9cdot23-0cdot2=-207,
det3 & 02 & 23 =3cdot23-0cdot2=69,
det3 & -92 & 2 =3cdot2-(-9)cdot2=6+18=24
Substituindo:
det(A) = 1cdot(-207) - 8cdot69 + 10cdot24 = -207 - 552 + 240 = -519

Passo 4

Como det(A)=-519neq 0, concluímos que os vetores são linearmente independentes. Em R^3, qualquer conjunto de três vetores independentes também gera todo o espaço, logo é uma base.

Resposta

O conjunto (1,3,2),(8,-9,2),(10,0,23) é base de R^3, pois seu determinante é -519neq0.

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