Considere os vetores
e
. Determine o vetor
tal que
e
.
Passo 1
Então, a gente tem dois vetores,
e
. A missão aqui é encontrar um vetor
que, quando a gente fizer o produto vetorial entre
e
, vai dar exatamente
. Além disso, o produto escalar entre
e
precisa ser igual a 1. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente de produto vetorial e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores. Se tivermos
e
, o produto vetorial
é dado por:
Vamos aplicar isso com nossos vetores.
Passo 3
Aplicando os valores de
e
na fórmula:
Simplificando:
Passo 4
Sabemos que
. Isso nos dá um sistema de equações:
Além disso, temos a condição do produto escalar:
.
Passo 5
O produto escalar entre
e
é:
Agora, temos um sistema com quatro equações.
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da equação (2):
Agora, da equação (3):
Substituindo a equação (5) na equação (6):
Passo 7
Agora, substituímos as equações (5) e (7) na equação (1):
Isso não nos dá nova informação, então vamos usar a equação (4):
Substituindo as equações (5) e (7):
Passo 8
Agora que temos
, vamos encontrar
e
usando as equações (5) e (7):
Resposta
O vetor
que satisfaz as condições dadas é: