Considere os vetores a=(1,-1,1) e b=(2,1,-1). Determine o vetor p tal que a times p=b e a cdot p=1.

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores, a = (1, -1, 1) e b = (2, 1, -1). A missão aqui é encontrar um vetor p que, quando a gente fizer o produto vetorial entre a e p, vai dar exatamente b. Além disso, o produto escalar entre a e p precisa ser igual a 1. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente de produto vetorial e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores. Se tivermos a = (a1, a2, a3) e p = (p1, p2, p3), o produto vetorial a times p é dado por:
a times p = ( a2 p3 - a3 p2, a3 p1 - a1 p3, a1 p2 - a2 p1 )
Vamos aplicar isso com nossos vetores.

Passo 3

Aplicando os valores de a e p na fórmula:
a times p = ( (-1) p3 - (1) p2, (1) p1 - (1) p3, (1) p2 - (-1) p1 )
Simplificando:
a times p = ( -p3 - p2, p1 - p3, p2 + p1 )

Passo 4

Sabemos que a times p = b = (2, 1, -1). Isso nos dá um sistema de equações:
-p3 - p2 = 2 (1)
p1 - p3 = 1 (2)
p2 + p1 = -1 (3)
Além disso, temos a condição do produto escalar: a cdot p = 1.

Passo 5

O produto escalar entre a e p é:
a cdot p = 1 cdot p1 + (-1) cdot p2 + 1 cdot p3 = p1 - p2 + p3 = 1 (4)
Agora, temos um sistema com quatro equações.

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da equação (2):
p1 - p3 = 1 Rightarrow p1 = p3 + 1 (5)
Agora, da equação (3):
p2 + p1 = -1 Rightarrow p2 = -1 - p1 (6)
Substituindo a equação (5) na equação (6):
p2 = -1 - (p3 + 1) = -1 - p3 - 1 = -2 - p3 (7)

Passo 7

Agora, substituímos as equações (5) e (7) na equação (1):
- p3 - p2 = 2 Rightarrow - p3 - (-2 - p3) = 2
- p3 + 2 + p3 = 2
2 = 2
Isso não nos dá nova informação, então vamos usar a equação (4):
p1 - p2 + p3 = 1
Substituindo as equações (5) e (7):
(p3 + 1) - (-2 - p3) + p3 = 1
p3 + 1 + 2 + p3 + p3 = 1
3p3 + 3 = 1
3p3 = -2 Rightarrow p3 = -23

Passo 8

Agora que temos p3, vamos encontrar p1 e p2 usando as equações (5) e (7):
p1 = p3 + 1 = -23 + 1 = 13
p2 = -2 - p3 = -2 - ( -23 ) = -2 + 23 = -43

Resposta

O vetor p que satisfaz as condições dadas é:
p = ( 13, -43, -23 )

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