Existem algumas desigualdades vetoriais importantes, não apenas na Física mas também em Matemática, que podem ser facilmente demonstradas mediante as propriedades dos vetores. Mostre a desigualdade de Cauchy
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer que a gente demonstre a Desigualdade de Cauchy, que é uma das desigualdades vetoriais mais importantes tanto na Física quanto na Matemática. Essa desigualdade diz que o valor absoluto do produto escalar entre dois vetores
e
é sempre menor ou igual ao produto das magnitudes desses vetores. Ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o produto escalar e como as magnitudes dos vetores funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores. Se temos dois vetores
e
, o produto escalar é dado por:
Aqui,
é o ângulo entre
e
. O produto escalar nos dá uma medida de como os vetores estão alinhados.
Passo 3
Agora, vamos focar no valor absoluto do produto escalar:
Como estamos lidando com o valor absoluto, podemos tirar o valor absoluto de
:
Passo 4
Sabemos que o valor absoluto de
é sempre menor ou igual a 1, porque o cosseno de qualquer ângulo nunca excede 1:
Então, substituindo isso na nossa equação:
Passo 5
Simplificando a equação:
E pronto! Demonstramos a Desigualdade de Cauchy.
Resposta
A Desigualdade de Cauchy está demonstrada: