Existem algumas desigualdades vetoriais importantes, não apenas na Física mas também em Matemática, que podem ser facilmente demonstradas mediante as propriedades dos vetores. Mostre a desigualdade de Cauchy
|a cdot b| <=|a||b|

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer que a gente demonstre a Desigualdade de Cauchy, que é uma das desigualdades vetoriais mais importantes tanto na Física quanto na Matemática. Essa desigualdade diz que o valor absoluto do produto escalar entre dois vetores a e b é sempre menor ou igual ao produto das magnitudes desses vetores. Ou seja:
|a cdot b| <= |a||b|
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o produto escalar e como as magnitudes dos vetores funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores. Se temos dois vetores a e b, o produto escalar é dado por:
a cdot b = |a||b|cos(theta)
Aqui, theta é o ângulo entre a e b. O produto escalar nos dá uma medida de como os vetores estão alinhados.

Passo 3

Agora, vamos focar no valor absoluto do produto escalar:
|a cdot b| = ||a||b|cos(theta)|
Como estamos lidando com o valor absoluto, podemos tirar o valor absoluto de cos(theta):
|a cdot b| = |a||b||cos(theta)|

Passo 4

Sabemos que o valor absoluto de cos(theta) é sempre menor ou igual a 1, porque o cosseno de qualquer ângulo nunca excede 1:
|cos(theta)| <= 1
Então, substituindo isso na nossa equação:
|a cdot b| = |a||b||cos(theta)| <= |a||b| times 1

Passo 5

Simplificando a equação:
|a cdot b| <= |a||b|
E pronto! Demonstramos a Desigualdade de Cauchy.

Resposta

A Desigualdade de Cauchy está demonstrada:
|a cdot b| <= |a||b|

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