Mostre c0 -6 2 0 são c0 -3 1 0.d. e encontre um conjunto com 2 vetores que sejam e.c.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos os vetores v1 = [1, -1, 1, 0]^T, v2 = [2, 1, 1, 0]^T, v3 = [0, -6, 2, 0]^T e v4 = [0, -3, 1, 0]^T em R^4. O problema pede para mostrar que esses vetores são linearmente dependentes e encontrar um subconjunto de 2 vetores linearmente independentes.
Passo 2
Pela definição, um conjunto de vetores é linearmente dependente se existem escalares não todos nulos tais que alpha1 v1 + alpha2 v2 + alpha3 v3 + alpha4 v4 = 0. Basta encontrar uma relação não trivial para concluir dependência.
Passo 3
Procura-se escalares a,b tais que v3 = a v1 + b v2. Isso gera o sistema de coordenadas:
a + 2b = 0
-a + b = -6
a + b = 2
Resolvendo, obtemos a = 4 e b = -2, portanto v3 = 4v1 - 2v2.
Passo 4
De modo semelhante, buscamos c,d tais que v4 = c v1 + d v2, levando ao sistema:
c + 2d = 0
-c + d = -3
c + d = 1
Daí segue c = 2 e d = -1, logo v4 = 2v1 - v2.
Passo 5
As relações encontradas mostram combinação não trivial, confirmando que v1,v2,v3,v4 é linearmente dependente.
Passo 6
Para extrair um subconjunto de dois vetores linearmente independentes, verificamos alpha v1 + beta v2 = 0. Isso gera o sistema:
alpha + 2beta = 0
-alpha + beta = 0
alpha + beta = 0
A única solução é alpha = beta = 0, mostrando que v1 e v2 são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores são linearmente dependentes, e um conjunto com 2 vetores linearmente independentes é {\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2}.