Considere os vetores u=(1,1,1), v=(-1,1,0) e w=(16, 16,-26). Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
u, v é uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto u,v, com
u=(1,1,1), v=(-1,1,0),
é uma base de R^3. O conteúdo envolve definição de base em espaços vetoriais finito-dimensionais e o conceito de dimensão.

Passo 2

Por definição, um subconjunto B de um espaço vetorial V é base se e somente se seus vetores são linearmente independentes e geram V. Em espaços de dimensão finita, vale o teorema:
Se dim(V)=n, toda base de V tem exatamente n vetores
Aqui dim(R^3)=3.

Passo 3

O conjunto u,v tem apenas 2 vetores, ou seja
#u,v=2neq 3=dim(R^3)
Logo não pode gerar todo R^3.

Resposta

Falso. Como dim(R^3)=3 e u,v tem apenas 2 vetores, esse conjunto não pode ser base de R^3.

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