Considere os vetores u=(1,1,1), v=(-1,1,0) e w=(16, 16,-26). Para cada um dos itens abaixo indique se é verdadeiro ou falso e justifique.
O vetor u é ortogonal ao subespaço S=[v, w] do R^3.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores u=(1,1,1), v=(-1,1,0) e w=l(tfrac16,tfrac16,-tfrac13r) em R^3. Pede-se para verificar se u é ortogonal ao subespaço S=spanv,w. O conteúdo aqui é produto interno (escalar) e ortogonalidade em R^3.

Passo 2

Lembrando a definição: um vetor u é ortogonal ao subespaço S=spanv,w se, e somente se, ele for ortogonal a cada vetor que gera S. Em outras palavras, precisamos checar que
lang<= u,vrang<= = 0 e lang<= u,wrang<= = 0

Passo 3

Calculamos o produto interno de u com v:
lang<= u,vrang<= =1cdot(-1) + 1cdot1 + 1cdot0 =-1 + 1 + 0 =0

Passo 4

Calculamos o produto interno de u com w:
lang<= u,wrang<= =1cdottfrac16 + 1cdottfrac16 + 1cdotl(-tfrac13r) =tfrac16 + tfrac16 - tfrac13 =tfrac26 - tfrac26 =0

Passo 5

Como lang<= u,vrang<==0 e lang<= u,wrang<==0, concluímos que u é ortogonal a qualquer combinação linear de v e w, isto é, a S.

Resposta

Verdadeiro.

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