Considere os vetores e . Calcule:
(a) O produto vetorial entre e .
(b) A área do paralelogramo cujas arestas são definidas pelos vetores e .
(c) A altura do paralelogramo em relação à base definida pelo vetor .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial! A gente tem dois vetores, e , e precisamos calcular três coisas:
(a) O produto vetorial entre e ;
(b) A área do paralelogramo formado por esses vetores;
(c) A altura desse paralelogramo em relação à base definida pelo vetor .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de produto vetorial, norma de vetores e propriedades dos paralelogramos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial de dois vetores em três dimensões resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
A fórmula para o produto vetorial é:
Onde i, j, k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Vamos montar a matriz determinante com os componentes dos vetores v e u:
v times u = i & j & k 1 & -2 & 1 -1 & 1 & 2
Agora, vamos expandir essa determinante:
v times u = i cdot (-2 cdot 2 - 1 cdot 1) - j cdot (1 cdot 2 - 1 cdot (-1)) + k cdot (1 cdot 1 - (-2) cdot (-1))
Passo 4
Calculando cada parte:
Para i:
-2 cdot 2 - 1 cdot 1 = -4 - 1 = -5
Para j:
1 cdot 2 - 1 cdot (-1) = 2 + 1 = 3
Para k:
1 cdot 1 - (-2) cdot (-1) = 1 - 2 = -1
Então, substituindo de volta:
v times u = -5i - 3j - 1k = (-5, -3, -1)
Passo 5
Agora, vamos calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores v e u. A área A de um paralelogramo pode ser encontrada pela norma do produto vetorial dos dois vetores que formam as arestas:
A = |v times u|
Já calculamos v times u = (-5, -3, -1), então vamos encontrar a norma desse vetor.
Passo 6
A norma de um vetor w = (w1, w2, w3) é dada por:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso vetor v times u = (-5, -3, -1):
Então, a área do paralelogramo é aproximadamente 5,916 unidades quadradas.
Passo 7
Por fim, vamos encontrar a altura do paralelogramo em relação à base definida pelo vetor u. A altura h pode ser calculada dividindo a área do paralelogramo pela norma da base:
(a) O produto vetorial v times u é (-5, -3, -1);
(b) A área do paralelogramo é raiz35 approx 5,916 unidades quadradas;
(c) A altura do paralelogramo em relação à base u é aproximadamente 2,417 unidades.