Encontre um vetor no espaço de norma raiz53 que tenha a mesma direção e sentido contrário ao do vetor v=(2raiz3,-2raiz3, 2raiz3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar um vetor que tenha norma igual a raiz53 e que aponte na direção oposta ao vetor v = (2raiz3, -2raiz3, 2raiz3). Para resolver isso, vamos precisar entender de vetores, norma de um vetor (que é tipo o tamanho), direção e sentido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma do vetor v. A norma de um vetor (x, y, z) é dada pela fórmula:
|v| = raizx^2 + y^2 + z^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|v| = raiz(2raiz3)^2 + (-2raiz3)^2 + (2raiz3)^2

Passo 3

Vamos simplificar os termos dentro da raiz:
(2raiz3)^2 = 43
(-2raiz3)^2 = 43
(2raiz3)^2 = 43
Somando esses valores:
|v| = raiz43 + 43 + 43 = raiz123 = raiz4 = 2

Passo 4

Agora que sabemos que a norma de v é 2, vamos encontrar um vetor com a mesma direção, mas sentido contrário e com norma raiz53. Para isso, primeiro encontramos o vetor unitário na direção de v:
u = v|v|
Substituindo os valores:
u = 12 (2raiz3, -2raiz3, 2raiz3) = (1raiz3, -1raiz3, 1raiz3)

Passo 5

Como queremos o sentido contrário, multiplicamos o vetor unitário por -1:
uoposto = -u = (-1raiz3, 1raiz3, -1raiz3)

Passo 6

Agora, para ajustar a norma desse vetor para raiz53, multiplicamos o vetor unitário no sentido oposto pela nova norma:
w = raiz53 cdot uoposto = raiz53 (-1raiz3, 1raiz3, -1raiz3)
Simplificando:
w = (-raiz53raiz3, raiz53raiz3, -raiz53raiz3)

Resposta

O vetor procurado é w = (-raiz53raiz3, raiz53raiz3, -raiz53raiz3).

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