Esboce o paralelepípedo retângulo formado pelos pontos que satisfazem e e responda as seguintes perguntas:
(a) Quais são os pontos correspondentes aos vértices do paralelepípedo?
(b) Quais são os pontos que estão sobre a aresta de vértices e ?
(c) Quais são os pontos que estão na face de vértices e ?
(d) Existe alguma face sobre um dos plano coordenados? Quais?
(e) Existe alguma aresta sobre um dos eixos coordenados? Quais?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica que trata de um paralelepípedo retângulo no espaço tridimensional. A gente precisa entender os pontos que formam esse paralelepípedo com as restrições dadas: , e . Para resolver as questões, vamos precisar identificar os vértices, arestas e faces desse paralelepípedo usando coordenadas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar todos os vértices do paralelepípedo. Um paralelepípedo retângulo tem 8 vértices, que são as combinações possíveis dos valores mínimos e máximos de , e .
Passo 3
Para identificar os pontos sobre a aresta entre e , vamos fixar os valores de e e variar dentro do intervalo dado.
Passo 4
Agora, vamos determinar os pontos que estão na face definida pelos vértices , , e . Nessa face, o valor de é constante, então só variamos e .
Passo 5
Vamos verificar se alguma das faces do paralelepípedo está sobre um dos planos coordenados (, ou ). Para isso, observamos se uma das coordenadas (, ou ) é constante em todos os pontos da face.
Passo 6
Por fim, vamos identificar se alguma das arestas do paralelepípedo está sobre um dos eixos coordenados (, ou ). Isso acontece se duas das coordenadas forem constantes ao longo da aresta.
Resposta
(a) Os vértices do paralelepípedo são:
(b) Os pontos sobre a aresta entre (1,5,0) e (1,5,4) têm x = 1, y = 5 e z variando de 0 a 4. Então, qualquer ponto dessa aresta pode ser representado por:
(1, 5, z) onde 0 <= z <= 4
(c) Os pontos na face definida pelos vértices (1,3,0), (1,5,0), (1,3,4) e (1,5,4) têm x = 1, com y variando entre 3 e 5 e z entre 0 e 4. Assim, os pontos dessa face são:
(1, y, z) onde 3 <= y <= 5 e 0 <= z <= 4
(d) Sim, existem faces sobre os planos coordenados:
A face onde z = 0 está sobre o plano xy.
A face onde z = 4 também está sobre o plano xy.
(e) Sim, existem arestas sobre os eixos coordenados:
A aresta entre (1,3,0) e (3,3,0) está sobre o eixo x.
A aresta entre (1,5,0) e (3,5,0) também está sobre o eixo x.
A aresta entre (1,3,0) e (1,3,4) está sobre o eixo z.
A aresta entre (1,5,0) e (1,5,4) também está sobre o eixo z.