Esboce o paralelepípedo retângulo formado pelos pontos (x, y, z) in R^3 que satisfazem 1 <= x <= 3,3 <= y <= 5 e 0 <= z <= 4 e responda as seguintes perguntas:
(a) Quais são os pontos correspondentes aos vértices do paralelepípedo?
(b) Quais são os pontos que estão sobre a aresta de vértices (1,5,0) e (1,5,4) ?
(c) Quais são os pontos que estão na face de vértices (1,3,0),(1,5,0),(1,3,4) e (1,5,4) ?
(d) Existe alguma face sobre um dos plano coordenados? Quais?
(e) Existe alguma aresta sobre um dos eixos coordenados? Quais?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica que trata de um paralelepípedo retângulo no espaço tridimensional. A gente precisa entender os pontos que formam esse paralelepípedo com as restrições dadas: 1 <= x <= 3, 3 <= y <= 5 e 0 <= z <= 4. Para resolver as questões, vamos precisar identificar os vértices, arestas e faces desse paralelepípedo usando coordenadas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar todos os vértices do paralelepípedo. Um paralelepípedo retângulo tem 8 vértices, que são as combinações possíveis dos valores mínimos e máximos de x, y e z.

Passo 3

Para identificar os pontos sobre a aresta entre (1,5,0) e (1,5,4), vamos fixar os valores de x e y e variar z dentro do intervalo dado.

Passo 4

Agora, vamos determinar os pontos que estão na face definida pelos vértices (1,3,0), (1,5,0), (1,3,4) e (1,5,4). Nessa face, o valor de x é constante, então só variamos y e z.

Passo 5

Vamos verificar se alguma das faces do paralelepípedo está sobre um dos planos coordenados ( xy, xz ou yz). Para isso, observamos se uma das coordenadas ( x, y ou z) é constante em todos os pontos da face.

Passo 6

Por fim, vamos identificar se alguma das arestas do paralelepípedo está sobre um dos eixos coordenados ( x, y ou z). Isso acontece se duas das coordenadas forem constantes ao longo da aresta.

Resposta

(a) Os vértices do paralelepípedo são:
(1, 3, 0) (1, 3, 4) (1, 5, 0) (1, 5, 4) (3, 3, 0) (3, 3, 4) (3, 5, 0) (3, 5, 4)
(b) Os pontos sobre a aresta entre (1,5,0) e (1,5,4) têm x = 1, y = 5 e z variando de 0 a 4. Então, qualquer ponto dessa aresta pode ser representado por:
(1, 5, z) onde 0 <= z <= 4
(c) Os pontos na face definida pelos vértices (1,3,0), (1,5,0), (1,3,4) e (1,5,4) têm x = 1, com y variando entre 3 e 5 e z entre 0 e 4. Assim, os pontos dessa face são:
(1, y, z) onde 3 <= y <= 5 e 0 <= z <= 4
(d) Sim, existem faces sobre os planos coordenados:
  • A face onde z = 0 está sobre o plano xy.
  • A face onde z = 4 também está sobre o plano xy.
(e) Sim, existem arestas sobre os eixos coordenados:
  • A aresta entre (1,3,0) e (3,3,0) está sobre o eixo x.
  • A aresta entre (1,5,0) e (3,5,0) também está sobre o eixo x.
  • A aresta entre (1,3,0) e (1,3,4) está sobre o eixo z.
  • A aresta entre (1,5,0) e (1,5,4) também está sobre o eixo z.

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