Sejam A(a, 1), B(2,2) e C(3,-1) pontos do R^2. Encontre o valor de a para que o triângulo A B C seja retângulo no vértice A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no plano: A(a, 1), B(2,2) e C(3,-1). A questão quer saber qual o valor de a para que o triângulo ABC seja retângulo no vértice A. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a verificação de perpendicularidade entre dois lados do triângulo. Vamos precisar calcular as inclinações das retas formadas pelos lados do triângulo e usar a condição de que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for -1.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os lados do triângulo que se encontram no vértice A. Os lados são AB e AC. Para que o triângulo seja retângulo em A, os lados AB e AC precisam ser perpendiculares, ou seja, suas inclinações devem multiplicar-se para dar -1.

Passo 3

Vamos calcular a inclinação da reta AB. A inclinação mAB é dada por:
mAB = yB - yAxB - xA = 2 - 12 - a = 12 - a

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da reta AC. A inclinação mAC é:
mAC = yC - yAxC - xA = -1 - 13 - a = -23 - a

Passo 5

Para que as retas AB e AC sejam perpendiculares, o produto de suas inclinações deve ser -1:
mAB times mAC = -1
Substituindo os valores:
12 - a times -23 - a = -1

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
-2(2 - a)(3 - a) = -1
Multiplicando ambos os lados por (2 - a)(3 - a):
-2 = - (2 - a)(3 - a)
Dividindo ambos os lados por -1:
2 = (2 - a)(3 - a)

Passo 7

Agora, vamos expandir o lado direito:
2 = (2 - a)(3 - a) = 6 - 2a - 3a + a^2 = 6 - 5a + a^2
Rearranjando a equação:
a^2 - 5a + 6 - 2 = 0 a^2 - 5a + 4 = 0

Passo 8

Temos uma equação quadrática:
a^2 - 5a + 4 = 0
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
a = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm raiz92 = 5 pm 32

Passo 9

Assim, temos duas soluções:
a = 5 + 32 = 4 a = 5 - 32 = 1

Resposta

O valor de a que torna o triângulo ABC retângulo no vértice A pode ser a = 1 ou a = 4.

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