Sejam
e
pontos do
. Encontre o valor de
para que o triângulo
seja retângulo no vértice
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no plano:
,
e
. A questão quer saber qual o valor de
para que o triângulo
seja retângulo no vértice
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a verificação de perpendicularidade entre dois lados do triângulo. Vamos precisar calcular as inclinações das retas formadas pelos lados do triângulo e usar a condição de que duas retas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais são os lados do triângulo que se encontram no vértice
. Os lados são
e
. Para que o triângulo seja retângulo em
, os lados
e
precisam ser perpendiculares, ou seja, suas inclinações devem multiplicar-se para dar
.
Passo 3
Vamos calcular a inclinação da reta
. A inclinação
é dada por:
Passo 4
Agora, vamos calcular a inclinação da reta
. A inclinação
é:
Passo 5
Para que as retas
e
sejam perpendiculares, o produto de suas inclinações deve ser
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, vamos expandir o lado direito:
Rearranjando a equação:
Passo 8
Temos uma equação quadrática:
Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 9
Assim, temos duas soluções:
Resposta
O valor de
que torna o triângulo
retângulo no vértice
pode ser
ou
.