Encontre o valor de
para que os seguintes vetores sejam ortogonais:
(a)
e
(b)
e
(c)
e
(a)
(b)
(c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o valor de
para que certos vetores sejam ortogonais. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de vetores ortogonais. Para vetores serem ortogonais, o produto interno (ou produto escalar) deles deve ser igual a zero. Vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar e aplicar isso para cada par de vetores.
Parte (a)
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores:
O produto escalar de dois vetores
e
é:
Passo 3
Aplicando a fórmula:
Para que os vetores sejam ortogonais, esse produto deve ser zero:
Passo 4
Vamos resolver a equação:
Então, as soluções são:
Parte (b)
Passo 5
Agora, os vetores são:
O produto escalar para vetores de três dimensões
e
é:
Passo 6
Calculando o produto escalar:
Para ortogonalidade:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Parte (c)
Passo 8
Por último, os vetores são:
O produto escalar para vetores em três dimensões é:
Passo 9
Calculando o produto escalar:
Para que os vetores sejam ortogonais:
Passo 10
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Resposta
(a)
ou
(b)
ou
(c)
ou