Encontre o valor de a para que os seguintes vetores sejam ortogonais:
(a) v=(a, a) e w=(4, a)
(b) v=(a+1,1,2) e w=(a-2,-1,-2)
(c) v=(a+1) imath-2 jmath+a k e v=2 a imath+3 jmath-a k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o valor de a para que certos vetores sejam ortogonais. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de vetores ortogonais. Para vetores serem ortogonais, o produto interno (ou produto escalar) deles deve ser igual a zero. Vamos precisar lembrar como calcular o produto escalar e aplicar isso para cada par de vetores.

Parte (a)

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores:
v = (a, a) e w = (4, a)
O produto escalar de dois vetores v = (v1, v2) e w = (w1, w2) é:
v cdot w = v1 cdot w1 + v2 cdot w2

Passo 3

Aplicando a fórmula:
v cdot w = a cdot 4 + a cdot a = 4a + a^2
Para que os vetores sejam ortogonais, esse produto deve ser zero:
4a + a^2 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação:
a^2 + 4a = 0 a(a + 4) = 0
Então, as soluções são:
a = 0 ou a = -4

Parte (b)

Passo 5

Agora, os vetores são:
v = (a+1, 1, 2) e w = (a-2, -1, -2)
O produto escalar para vetores de três dimensões v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) é:
v cdot w = v1 cdot w1 + v2 cdot w2 + v3 cdot w3

Passo 6

Calculando o produto escalar:
v cdot w = (a+1)(a-2) + (1)(-1) + (2)(-2) = (a^2 - 2a + a - 2) -1 -4 = a^2 - a - 2 -1 -4 = a^2 - a -7
Para ortogonalidade:
a^2 - a -7 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
a = 1 pm raiz1 + 282 = 1 pm raiz292
Então, as soluções são:
a = 1 + raiz292 ou a = 1 - raiz292

Parte (c)

Passo 8

Por último, os vetores são:
v = (a+1)imath - 2jmath + ak e w = 2aimath + 3jmath - ak
O produto escalar para vetores em três dimensões é:
v cdot w = (v1)(w1) + (v2)(w2) + (v3)(w3)

Passo 9

Calculando o produto escalar:
v cdot w = (a+1)(2a) + (-2)(3) + (a)(-a) = 2a(a + 1) - 6 - a^2 = 2a^2 + 2a - 6 - a^2 = a^2 + 2a - 6
Para que os vetores sejam ortogonais:
a^2 + 2a - 6 = 0

Passo 10

Resolvendo a equação quadrática:
a = -2 pm raiz4 + 242 = -2 pm raiz282 = -2 pm 2raiz72 = -1 pm raiz7
Então, as soluções são:
a = -1 + raiz7 ou a = -1 - raiz7

Resposta

(a) a = 0 ou a = -4
(b) a = dfrac1 + raiz292 ou a = dfrac1 - raiz292
(c) a = -1 + raiz7 ou a = -1 - raiz7

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