Considere os vetores de R^4 v1=(1,-1,0,0), v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1) e v4=(1,0,0,0). O conjunto v1, v2, v3, v4 é base de R^4? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^4:
v1=(1,-1,0,0), v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1), v4=(1,0,0,0)
Queremos saber se v1,v2,v3,v4 é uma base de R^4. Lembrando que, em R^4, um conjunto de quatro vetores é base se, e somente se, for linearmente independente (já que então automaticamente gera R^4).

Passo 2

Para testar a independência, buscamos uma combinação não trivial que zere:
a,v1 + b,v2 + c,v3 + d,v4 = 0
Note que
-2,v1 + 1,v2 = -2,(1,-1,0,0) + (0,0,1,1) = (-2,2,1,1) = v3
Isso mostra a dependência
v3 + 2,v1 - v2 = 0,
uma combinação linear não trivial dos vetores.

Passo 3

Como encontramos essa relação de dependência, concluímos que v1,v2,v3,v4 não é linearmente independente e, portanto, não pode ser base de R^4.

Resposta

Não. O conjunto não é base de R^4 pois é linearmente dependente (por exemplo, v3 = -2,v1 + v2).

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