Teste se os conjuntos de funções abaixo são linearmente independentes em Im. Para os que forem linearmente dependentes, expresse uma das funções como combinação linear das demais.
1, sin x, cos x

Passo 1

O enunciado pede para testar se o conjunto de funções
1,sin x,cos x
é linearmente independente em Im. Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear dessas funções que seja identicamente zero para todo x forças os coeficientes a serem zero.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
acdot1 ;+; b,sin x ;+; c,cos x ;=; 0
para todo xinR. Nosso objetivo é mostrar que a=b=c=0.

Passo 3

Avalie a identidade em x=0. Como sin0=0 e cos0=1, obtemos
a + c = 0

Passo 4

Para extrair mais informação, derive ambos os lados em relação a x. O resultado é
ddxl(a + bsin x + ccos xr) = bcos x ;-; csin x
que também deve ser zero para todo x.

Passo 5

Avalie essa derivada em x=0. Como cos0=1 e sin0=0, segue
b = 0

Passo 6

Com b=0, a derivada fica -csin x=0 para todo x. Tomando, por exemplo, x=pi/2 (onde sin(pi/2)=1), obtemos
-c = 0 Longrightarrow c = 0
Então de a + c = 0 vem a=0.

Resposta

O conjunto 1,sin x,cos x é linearmente independente em Im.

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