Teste se os conjuntos de funções abaixo são linearmente independentes em
. Para os que forem linearmente dependentes, expresse uma das funções como combinação linear das demais.
Passo 1
O enunciado pede para testar se o conjunto de funções
é linearmente independente em . Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear dessas funções que seja identicamente zero para todo
forças os coeficientes a serem zero.
é linearmente independente em
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
para todo
. Nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 3
Avalie a identidade em
. Como
e
, obtemos
Passo 4
Para extrair mais informação, derive ambos os lados em relação a
. O resultado é
que também deve ser zero para todo
.
Passo 5
Avalie essa derivada em
. Como
e
, segue
Passo 6
Com
, a derivada fica
para todo
. Tomando, por exemplo,
(onde
), obtemos
Então de
vem
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.