Encontre um conjunto de geradores dos seguintes subespaços de R^4:
U=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y-z+t=0;

Passo 1

O enunciado define o subespaço
U = (x,y,z,t)in R^4 mid x - y - z + t = 0
e pede um conjunto de geradores. O conteúdo é teoria de subespaços e geradores em espaços vetoriais: basta resolver a equação linear para expressar um vetor genérico de U como combinação linear de alguns vetores “básicos”.

Passo 2

Vamos tomar y, z, t como parâmetros livres. Seja
y = s, z = u, t = v
Da equação x - y - z + t = 0 obtemos
x = y + z - t = s + u - v
Portanto um vetor genérico de U é
(x,y,z,t) = (s+u-v,;s,;u,;v)

Passo 3

Reescrevendo em forma de combinação linear:
(x,y,z,t) = s,(1,1,0,0);+;u,(1,0,1,0);+;v,(-1,0,0,1)
Logo os três vetores (1,1,0,0), (1,0,1,0) e (-1,0,0,1) geram U.

Resposta

Um conjunto de geradores de U é
l(1,1,0,0),;(1,0,1,0),;(-1,0,0,1)r

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