P2 é gerado por 1+x+2 x^2, 2+x+2 x^2,-1+x+2 x^2 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se o espaço P2 (polinômios de grau <=2) é gerado pelo conjunto
,1 + x + 2x^2,;2 + x + 2x^2,;-1 + x + 2x^2
Para responder, basta verificar se esses três vetores têm posto 3, já que dim(P2)=3.

Passo 2

Representamos cada polinômio pelos coeficientes na base 1,x,x^2:
v1 = (1,1,2), v2 = (2,1,2), v3 = (-1,1,2)
Formamos a matriz cujas colunas são v1,v2,v3:
A = 1 & 2 & -1 1 & 1 & 1 2 & 2 & 2

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss em A:
R2 R2-R1, R3 R3-2R1 Longrightarrow 1 & 2 & -1 0 & -1 & 2 0 & -2 & 4 ,
depois
R3 R3-2R2 Longrightarrow 1 & 2 & -1 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0
O posto de A é 2, menor que 3, portanto o espaço gerado tem dimensão 2, não preenchendo todo P2.

Resposta

Não.

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