Verifique se os conjuntos de vetores dados a seguir são L.I. ou L.D.:
V=P2(R), S3=t^3-4 t^2+2 t+3, t^3+2 t^2+4 t-1,2 t^3-t^2-3 t+5.

Passo 1

Temos o conjunto
S3 = ,p1(t)=t^3-4t^2+2t+3,;p2(t)=t^3+2t^2+4t-1,;p3(t)=2t^3 - t^2 -3t +5
no espaço vetorial de polinômios de grau até 3, e queremos saber se esses três vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos considerar uma combinação linear
a,p1(t) + b,p2(t) + c,p3(t) = 0
e verificar se a única solução é a=b=c=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação e agrupando pelos graus de t, obtemos
a(t^3-4t^2+2t+3) + b(t^3+2t^2+4t-1) + c(2t^3 - t^2 -3t +5) = 0
Isso gera o sistema de coeficientes
a + b + 2c = 0, -4a + 2b - c = 0, 2a + 4b -3c = 0, 3a - b +5c = 0

Passo 3

Da primeira equação segue
Substituindo em , vem
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Passo 4

Substituindo e em
Então e . A última equação fica , consistente.

Resposta

O único vetor de coeficientes que anula a combinação é a=b=c=0. Portanto, o conjunto S3 é linearmente independente.

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