Considere em R^5 os vetores x, y, z definidos abaixo. Calcule:
& x=(xi)i=1^5, xi=3 i+1 & y=(yi)i=1^5, yi=i^2-i+1 & z=(zi)i=1^5, zi=(-1)^i i
13(x+y+z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com vetores em R^5. Temos três vetores:
& x = (x1, x2, x3, x4, x5), xi = 3i + 1 & y = (y1, y2, y3, y4, y5), yi = i^2 - i + 1 & z = (z1, z2, z3, z4, z5), zi = (-1)^i i
Nosso objetivo é calcular 13(x + y + z). Para isso, vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os componentes de cada vetor x, y e z para i = 1 até 5.
Para o vetor x:
xi = 3i + 1
Calculando cada componente:
x1 &= 3(1) + 1 = 4 x2 &= 3(2) + 1 = 7 x3 &= 3(3) + 1 = 10 x4 &= 3(4) + 1 = 13 x5 &= 3(5) + 1 = 16
Então, x = (4, 7, 10, 13, 16).

Passo 3

Para o vetor y:
yi = i^2 - i + 1
Calculando cada componente:
y1 &= 1^2 - 1 + 1 = 1 y2 &= 2^2 - 2 + 1 = 3 y3 &= 3^2 - 3 + 1 = 7 y4 &= 4^2 - 4 + 1 = 13 y5 &= 5^2 - 5 + 1 = 21
Então, y = (1, 3, 7, 13, 21).

Passo 4

Para o vetor z:
zi = (-1)^i i
Isso significa que o sinal alterna com o índice i.
Calculando cada componente:
z1 &= (-1)^1 cdot 1 = -1 z2 &= (-1)^2 cdot 2 = 2 z3 &= (-1)^3 cdot 3 = -3 z4 &= (-1)^4 cdot 4 = 4 z5 &= (-1)^5 cdot 5 = -5
Então, z = (-1, 2, -3, 4, -5).

Passo 5

Agora que temos os três vetores:
x &= (4, 7, 10, 13, 16) y &= (1, 3, 7, 13, 21) z &= (-1, 2, -3, 4, -5)
Vamos somar x + y + z componente a componente:
(x + y + z)1 &= 4 + 1 + (-1) = 4 (x + y + z)2 &= 7 + 3 + 2 = 12 (x + y + z)3 &= 10 + 7 + (-3) = 14 (x + y + z)4 &= 13 + 13 + 4 = 30 (x + y + z)5 &= 16 + 21 + (-5) = 32
Então, x + y + z = (4, 12, 14, 30, 32).

Passo 6

Agora, vamos multiplicar o vetor resultante por 13:
13(x + y + z) = ( 43, 123, 143, 303, 323 )
Simplificando:
13(x + y + z) = ( 43, 4, 143, 10, 323 )

Resposta

13(x + y + z) = ( 43, 4, 143, 10, 323 )

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