Passe para coordenadas polares e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma integral dupla em coordenadas cartesianas que precisamos converter para coordenadas polares para facilitar o cálculo. O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente a mudança de coordenadas em integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de cartesianas para polares e como ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como é a conversão de coordenadas cartesianas
para polares
. As fórmulas são:
E o diferencial de área também muda, passando a ser:
Isso significa que qualquer integral dupla em cartesianas pode ser reescrita em polares usando essas relações.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração. A integral original vai de
a
, e para cada
,
varia de
a
. Observando esses limites, percebemos que a região de integração é um círculo com centro em
e raio
.
Passo 4
Em coordenadas polares, o centro do círculo não está na origem. Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável para que o centro fique na origem. Definimos:
Então, a equação do círculo fica:
Agora, estamos integrando sobre um círculo de raio
centrado na origem em
.
Passo 5
Com isso, a integral original pode ser reescrita em termos de
:
Mas, para facilitar, vamos diretamente converter para coordenadas polares com
.
Passo 6
Voltando para coordenadas polares, a integral fica:
Aqui,
varia de
a
(o raio do círculo) e
varia de
a
para cobrir todo o círculo.
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculamos cada uma separadamente.
Passo 9
Primeira integral:
Mas sabemos que
, então essa parte é zero.
Passo 10
Segunda integral:
Novamente,
, então essa parte também é zero.
Resposta
Somando as duas partes, obtemos
. Portanto, o valor da integral é
.