Passe para coordenadas polares e calcule
integral0^1[integral1-raiz1-x^2^1+raiz1-x^2 x y d y] d x.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma integral dupla em coordenadas cartesianas que precisamos converter para coordenadas polares para facilitar o cálculo. O conteúdo envolvido aqui é cálculo multivariável, especificamente a mudança de coordenadas em integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de cartesianas para polares e como ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a conversão de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta). As fórmulas são:
x = r cos theta
y = r sin theta
E o diferencial de área também muda, passando a ser:
dA = r , dr , dtheta
Isso significa que qualquer integral dupla em cartesianas pode ser reescrita em polares usando essas relações.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração. A integral original vai de x = 0 a x = 1, e para cada x, y varia de 1 - raiz1 - x^2 a 1 + raiz1 - x^2. Observando esses limites, percebemos que a região de integração é um círculo com centro em (0,1) e raio 1.

Passo 4

Em coordenadas polares, o centro do círculo não está na origem. Para simplificar, vamos fazer uma mudança de variável para que o centro fique na origem. Definimos:
y' = y - 1
Então, a equação do círculo fica:
x^2 + y'^2 = 1
Agora, estamos integrando sobre um círculo de raio 1 centrado na origem em (x, y').

Passo 5

Com isso, a integral original pode ser reescrita em termos de y':
integral0^1 [integral1 - raiz1 - x^2^1 + raiz1 - x^2 x y , dy ] dx = integral0^1 [integral-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 x (y' + 1) , dy' ] dx
Mas, para facilitar, vamos diretamente converter para coordenadas polares com y = r sin theta + 1.

Passo 6

Voltando para coordenadas polares, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 (r cos theta) (r sin theta + 1) , r , dr , dtheta
Aqui, r varia de 0 a 1 (o raio do círculo) e theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(r cos theta)(r sin theta + 1) , r = r cos theta (r sin theta + 1) , r = r^2 cos theta sin theta + r^2 cos theta
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 ( r^2 cos theta sin theta + r^2 cos theta ) dr , dtheta

Passo 8

Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^2pi integral0^1 r^2 cos theta sin theta , dr , dtheta + integral0^2pi integral0^1 r^2 cos theta , dr , dtheta
Calculamos cada uma separadamente.

Passo 9

Primeira integral:
integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta cdot integral0^1 r^2 , dr
Mas sabemos que integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta = 0, então essa parte é zero.

Passo 10

Segunda integral:
integral0^2pi cos theta , dtheta cdot integral0^1 r^2 , dr
Novamente, integral0^2pi cos theta , dtheta = 0, então essa parte também é zero.

Resposta

Somando as duas partes, obtemos 0 + 0 = 0. Portanto, o valor da integral é boxed0.

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