Considere os vetores v1=(1,1,0), v2=(0,1,1) e v3=(1,2,1) em R^3. Determine se eles são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado dá os vetores v1=(1,1,0), v2=(0,1,1) e v3=(1,2,1) em R^3 e pede para verificar se eles são linearmente independentes. O conteúdo envolvido é a definição de independência linear: precisamos checar se a única solução da combinação
c1v1+c2v2+c3v3=0
é c1=c2=c3=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear valendo o vetor nulo e obtemos o sistema de equações em c1,c2,c3:
c1(1,1,0)+c2(0,1,1)+c3(1,2,1)=(0,0,0)
Isso gera as componentes
c1+c3=0, c1+c2+2c3=0, c2+c3=0

Passo 3

Da primeira equação c1=-c3 e da terceira c2=-c3. Substituindo na segunda:
(-c3)+(-c3)+2c3=0Longrightarrow0=0,
ou seja, qualquer c3=t gera uma solução (c1,c2,c3)=(-t,-t,t). Como existe solução não trivial ( tneq0), os vetores são linearmente dependentes. Em particular, nota-se diretamente que
v1+v2-v3=0,
ou seja v3=v1+v2.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

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