Encontre as coordenadas do vetor (3,4,5) em relação à base (1,0,0),(0,1,0),(1,1,1) de R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor (3,4,5) em R^3 e a base
(1,0,0),,(0,1,0),,(1,1,1)
O conteúdo aqui é mudança de base: precisamos expressar (3,4,5) como combinação linear desses três vetores.

Passo 2

Vamos chamar de alpha,beta,gamma as coordenadas de (3,4,5) nessa base, ou seja, queremos
alpha,(1,0,0);+;beta,(0,1,0);+;gamma,(1,1,1);=;(3,4,5)

Passo 3

Somando coordenada a coordenada, obtemos o sistema
alpha + gamma = 3, beta + gamma = 4, gamma = 5

Passo 4

Da terceira equação vem gamma=5. Substituindo nas duas primeiras:
alpha = 3 - gamma = 3 - 5 = -2,
beta = 4 - gamma = 4 - 5 = -1

Resposta

As coordenadas de (3,4,5) na base dada são (-2,-1,5).

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