Seja
. Complete
para formar uma base de
.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
em e pede para completá-lo a uma base de
.
O conteúdo envolvido é teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais: bases, independência linear e extensão de um conjunto independente a uma base. Para resolver, vamos (i) checar que é independente e (ii) escolher um vetor que não esteja no span de
.
em
O conteúdo envolvido é teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais: bases, independência linear e extensão de um conjunto independente a uma base. Para resolver, vamos (i) checar que
Passo 2
Verificamos que os vetores de
são linearmente independentes. Suponha
Das componentes vem
(pela primeira componente) e
(pela terceira componente).
Como a única solução é , concluímos que
.
Como a única solução é
Passo 3
Precisamos de um vetor fora de
. Escolhemos, por exemplo,
Se
estivesse em
, existiriam
tais que
Da componente
segue
. Da componente
segue
, logo
. Mas então a componente
daria
, contradição. Assim
.
Passo 4
O conjunto
tem três vetores em
e é linearmente independente (os dois primeiros são independentes e o terceiro não está no span deles). Logo esse conjunto é uma base de
.
Resposta
é uma base de