Seja S=(1,1,0),(0,1,1). Complete S para formar uma base de R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
;S=(1,1,0),,(0,1,1)
em R^3 e pede para completá-lo a uma base de R^3.
O conteúdo envolvido é teoria de espaços vetoriais finito-dimensionais: bases, independência linear e extensão de um conjunto independente a uma base. Para resolver, vamos (i) checar que S é independente e (ii) escolher um vetor que não esteja no span de S.

Passo 2

Verificamos que os vetores de S são linearmente independentes. Suponha
a,(1,1,0)+b,(0,1,1)=(0,0,0)
Das componentes vem
a=0 (pela primeira componente) e b=0 (pela terceira componente).
Como a única solução é (a,b)=(0,0), concluímos que diml(spanSr)=2.

Passo 3

Precisamos de um vetor fora de spanS. Escolhemos, por exemplo,
v3=(1,0,0)
Se v3 estivesse em spanS, existiriam c,d tais que
c,(1,1,0)+d,(0,1,1)=(1,0,0)
Da componente x segue c=1. Da componente y segue 1+d=0, logo d=-1. Mas então a componente z daria -1=0, contradição. Assim v3notinspanS.

Passo 4

O conjunto (1,1,0),(0,1,1),v3 tem três vetores em R^3 e é linearmente independente (os dois primeiros são independentes e o terceiro não está no span deles). Logo esse conjunto é uma base de R^3.

Resposta

(1,1,0),,(0,1,1),,(1,0,0)
é uma base de R^3.

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