Considere os vetores v1=(-1,2,-1), v2=(3,1,-2) e v3=(1,0,2). Determine os valores de x, y e z tais que
x v1+y v2+z v3=(0,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores v1 = (-1, 2, -1) , v2 = (3, 1, -2) e v3 = (1, 0, 2) . A missão é encontrar os valores de x , y e z que, quando combinados linearmente com esses vetores, dão o vetor zero, ou seja:
x v1 + y v2 + z v3 = (0, 0, 0)
Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever isso de forma mais detalhada, componente por componente. Cada coordenada do resultado deve ser igual a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
-1x + 3y + 1z = 0 2x + 1y + 0z = 0 -1x - 2y + 2z = 0
Ou seja:
- x + 3 y + z = 0 (1) 2 x + y = 0 (2) - x - 2 y + 2 z = 0 (3)

Passo 3

Vamos resolver o sistema passo a passo. Começamos pela equação (2), que é mais simples:
2x + y = 0
Podemos isolar y :
y = -2x (4)
Agora, substituímos y da equação (4) nas equações (1) e (3):
Substituindo na equação (1):
- x + 3(-2x) + z = 0 - x - 6x + z = 0 -7x + z = 0 z = 7x (5)
Substituindo na equação (3):
- x - 2(-2x) + 2z = 0 - x + 4x + 2z = 0 3x + 2z = 0 (6)
Agora, usamos a equação (5) para substituir z na equação (6):
3x + 2(7x) = 0 3x + 14x = 0 17x = 0 x = 0

Passo 4

Com x = 0 , podemos encontrar y e z usando as equações (4) e (5):
y = -2x = -2(0) = 0 z = 7x = 7(0) = 0

Resposta

Os valores são x = 0 , y = 0 e z = 0 .

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