Considere os vetores e . Determine os valores de , e tais que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores , e . A missão é encontrar os valores de , e que, quando combinados linearmente com esses vetores, dão o vetor zero, ou seja:
Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e resolução de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever isso de forma mais detalhada, componente por componente. Cada coordenada do resultado deve ser igual a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Ou seja:
- x + 3 y + z = 0 (1) 2 x + y = 0 (2) - x - 2 y + 2 z = 0 (3)
Passo 3
Vamos resolver o sistema passo a passo. Começamos pela equação (2), que é mais simples:
2x + y = 0
Podemos isolar y :
y = -2x (4)
Agora, substituímos y da equação (4) nas equações (1) e (3):
Substituindo na equação (1):
- x + 3(-2x) + z = 0 - x - 6x + z = 0 -7x + z = 0 z = 7x (5)