Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
Se
e
são matrizes simétricas, então
é simétrica.
Se
Passo 1
O enunciado pede para testar a proposição “sejam
e
matrizes quadradas simétricas, então
é simétrica”. O conteúdo aqui é a definição de matriz simétrica e a propriedade de transposição que diz
.
Passo 2
Lembrando que uma matriz
é simétrica quando ela satisfaz
Logo, para
e
simétricas temos
Passo 3
Para ver se
é simétrica, calculamos a transposta de
usando a propriedade da transposição sobre soma:
Passo 4
Substituindo
e
na expressão acima, obtemos
que é exatamente a condição de simetria para
. Portanto, a proposição é verdadeira.
Resposta
V – demonstramos que
, ou seja,
é simétrica quando
e
são.