Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
Se A e B são matrizes simétricas, então A+B é simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para testar a proposição “sejam A e B matrizes quadradas simétricas, então A+B é simétrica”. O conteúdo aqui é a definição de matriz simétrica e a propriedade de transposição que diz ,(X+Y)^T = X^T + Y^T.

Passo 2

Lembrando que uma matriz M é simétrica quando ela satisfaz
M^T = M
Logo, para A e B simétricas temos
A^T = A e B^T = B

Passo 3

Para ver se A+B é simétrica, calculamos a transposta de A+B usando a propriedade da transposição sobre soma:
(A+B)^T = A^T + B^T

Passo 4

Substituindo A^T = A e B^T = B na expressão acima, obtemos
(A+B)^T = A + B,
que é exatamente a condição de simetria para A+B. Portanto, a proposição é verdadeira.

Resposta

V – demonstramos que (A+B)^T = A+B, ou seja, A+B é simétrica quando A e B são.

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