Resolva os sistemas lineares e classifique-os de acordo com o número de soluções.
x+y & =a 3 x+2 y & =b

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você me passou:
x + y &= a 3x + 2y &= b
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares, que envolvem duas ou mais equações que precisamos resolver juntas para encontrar os valores das incógnitas, nesse caso, x e y. Para resolver, vamos usar métodos de eliminação ou substituição e depois classificar o sistema de acordo com o número de soluções que ele tem.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar eliminar uma das incógnitas para facilitar a resolução. Vamos eliminar o x.
A primeira equação é:
x + y = a
Podemos multiplicar toda essa equação por 3 para igualar o coeficiente de x na segunda equação:
3(x + y) = 3a 3x + 3y = 3a
Agora, nossa nova equação é:
3x + 3y = 3a

Passo 3

Agora, temos o seguinte sistema:
3x + 3y &= 3a 3x + 2y &= b
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar o x:
(3x + 3y) - (3x + 2y) = 3a - b 3x + 3y - 3x - 2y = 3a - b y = 3a - b
Agora, encontramos o valor de y.

Passo 4

Com o valor de y encontrado, vamos substituí-lo na primeira equação original para encontrar x:
x + y = a x + (3a - b) = a x = a - (3a - b) x = a - 3a + b x = -2a + b

Passo 5

Então, encontramos que:
x = -2a + b y = 3a - b
Essas são as soluções para x e y em termos de a e b.

Passo 6

Agora, vamos classificar o sistema de acordo com o número de soluções:
  1. Solução única: ocorre quando as equações são independentes, ou seja, os coeficientes não são proporcionais. No nosso caso, a solução é única e dada por x = -2a + b e y = 3a - b, desde que as equações não sejam múltiplas uma da outra.
  2. Infinitas soluções: acontecem quando as equações são equivalentes, ou seja, uma é um múltiplo da outra e não há conflito entre os termos constantes. Isso ocorreria se:
13 = 12 = ab
Mas isso só é possível se a e b seguirem essa proporção específica, o que não é o caso geral.
  1. Nenhuma solução: ocorre quando as equações são paralelas e conflitantes, ou seja, têm os mesmos coeficientes para as variáveis mas termos constantes diferentes, levando a uma contradição.

Resposta

O sistema possui uma solução única com:
x = -2a + b y = 3a - b

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