Considere os vetores u=3 i-j+2 k e v=i+4 j-k. Encontre a área do paralelogramo formado por u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: u = 3 i - j + 2 k e v = i + 4 j - k. A tarefa é encontrar a área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado) e a fórmula que relaciona o produto vetorial com a área do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área A de um paralelogramo formado por dois vetores u e v é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
A = |u times v|
Então, nosso primeiro passo é calcular o produto vetorial u times v. Vamos fazer isso usando a regra do determinante:
u times v = i & j & k 3 & -1 & 2 1 & 4 & -1
Calculando o determinante:
u times v = i cdot [(-1)(-1) - (2)(4)] - j cdot [(3)(-1) - (2)(1)] + k cdot [(3)(4) - (-1)(1)]
Simplificando cada parte:
u times v = i cdot [1 - 8] - j cdot [-3 - 2] + k cdot [12 + 1]
u times v = i cdot (-7) - j cdot (-5) + k cdot (13)
u times v = -7i + 5j + 13k

Passo 3

Agora que temos o produto vetorial u times v = -7i + 5j + 13k, vamos calcular o módulo desse vetor para encontrar a área do paralelogramo.
A fórmula para o módulo de um vetor w = ai + bj + ck é:
|w| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando isso ao nosso produto vetorial:
|u times v| = raiz(-7)^2 + 5^2 + 13^2 = raiz49 + 25 + 169 = raiz243
Simplificando a raiz quadrada:
raiz243 = raiz81 times 3 = 9raiz3

Resposta

A área do paralelogramo formado pelos vetores u e v é 9raiz3 unidades de área.

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