Considere os vetores e . Encontre a área do paralelogramo formado por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: e . A tarefa é encontrar a área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado) e a fórmula que relaciona o produto vetorial com a área do paralelogramo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de um paralelogramo formado por dois vetores e é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores:
Então, nosso primeiro passo é calcular o produto vetorial . Vamos fazer isso usando a regra do determinante:
Calculando o determinante:
u times v = i cdot [(-1)(-1) - (2)(4)] - j cdot [(3)(-1) - (2)(1)] + k cdot [(3)(4) - (-1)(1)]
Simplificando cada parte:
u times v = i cdot [1 - 8] - j cdot [-3 - 2] + k cdot [12 + 1]
u times v = i cdot (-7) - j cdot (-5) + k cdot (13)
u times v = -7i + 5j + 13k
Passo 3
Agora que temos o produto vetorial u times v = -7i + 5j + 13k, vamos calcular o módulo desse vetor para encontrar a área do paralelogramo.
A fórmula para o módulo de um vetor w = ai + bj + ck é: