Uma força F=10 i+5 j+2 k é aplicada em um ponto (2,3,4) em relação à origem. Calcule o momento da força em relação à origem, dado por:
M=r times F
onde r é o vetor posição do ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o momento da força em relação à origem. Aqui, estamos trabalhando com o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado) entre dois vetores. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender o que é o momento de uma força.
  • Saber como calcular o produto vetorial entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores envolvidos. Temos:
  • O vetor posição r do ponto onde a força é aplicada, que é (2, 3, 4). Então, r = 2i + 3j + 4k.
  • O vetor força F = 10i + 5j + 2k.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial M = r times F. O produto vetorial entre dois vetores A = a1i + a2j + a3k e B = b1i + b2j + b3k é dado por:
A times B = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k

Passo 4

Aplicando essa fórmula aos nossos vetores r e F:
  • a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4
  • b1 = 10, b2 = 5, b3 = 2
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente i:
(3 times 2) - (4 times 5) = 6 - 20 = -14
  1. Componente j:
-(2 times 2 - 4 times 10) = - (4 - 40) = - (-36) = 36
  1. Componente k:
(2 times 5) - (3 times 10) = 10 - 30 = -20

Passo 5

Juntando tudo, o vetor momento fica:
M = -14i + 36j - 20k

Resposta

O momento da força em relação à origem é M = -14,i + 36,j - 20,k.

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