Dado um campo vetorial , avalie a integral de linha escalar do ponto ao ponto :
Ao longo da linha reta que une os dois pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e precisa calcular a integral de linha do ponto ao ponto , seguindo a linha reta que liga esses dois pontos. Isso tá ligado ao estudo de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha em campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho que a gente vai seguir de a . Como é uma linha reta, podemos parametrizar esse caminho usando um parâmetro que varia de 0 a 1. A parametrização facilita a integração. Vamos definir:
Onde e .
Passo 3
Vamos calcular :
Então, a parametrização fica:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial . Isso é encontrado derivando em relação a e multiplicando por :
Então,
Passo 5
Vamos agora expressar o campo vetorial em termos de . Sabemos que:
Substituindo e :
Passo 6
Agora, precisamos calcular o produto escalar :
Simplificando:
Passo 7
Por fim, vamos integrar essa expressão de a para encontrar a integral de linha:
Calculando os limites:
8(1) - 8(0) + 6(1)^2 - 6(0)^2 = 8 + 6 = 14
Resposta
A integral de linha integral E cdot dell ao longo da reta que liga P1(2,1,-1) a P2(8,2,-1) é igual a 14.