Dado um campo vetorial E=y i+x j, avalie a integral de linha escalar integral E cdot d ell do ponto P1(2,1,-1) ao ponto P2(8,2,-1):
Ao longo da linha reta que une os dois pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial E = y i + x j e precisa calcular a integral de linha integral E cdot dell do ponto P1(2,1,-1) ao ponto P2(8,2,-1), seguindo a linha reta que liga esses dois pontos. Isso tá ligado ao estudo de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha em campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho que a gente vai seguir de P1 a P2. Como é uma linha reta, podemos parametrizar esse caminho usando um parâmetro t que varia de 0 a 1. A parametrização facilita a integração. Vamos definir:
r(t) = P1 + t (P2 - P1)
Onde P1 = (2, 1, -1) e P2 = (8, 2, -1).

Passo 3

Vamos calcular P2 - P1:
P2 - P1 = (8-2, 2-1, -1-(-1)) = (6, 1, 0)
Então, a parametrização fica:
r(t) = (2, 1, -1) + t (6, 1, 0) = (2 + 6t, 1 + t, -1)
Isso significa que:
x(t) = 2 + 6t
y(t) = 1 + t
z(t) = -1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial dell. Isso é encontrado derivando r(t) em relação a t e multiplicando por dt:
dr(t)dt = ( dxdt, dydt, dzdt ) = (6, 1, 0)
Então,
dell = dr(t)dt dt = (6,dt, 1,dt, 0)

Passo 5

Vamos agora expressar o campo vetorial E em termos de t. Sabemos que:
E = y i + x j
Substituindo x(t) e y(t):
E(t) = (1 + t), i + (2 + 6t), j

Passo 6

Agora, precisamos calcular o produto escalar E cdot dell:
E cdot dell = (1 + t)(6,dt) + (2 + 6t)(1,dt) + 0 = 6(1 + t)dt + (2 + 6t)dt
Simplificando:
E cdot dell = [6 + 6t + 2 + 6t] dt = (8 + 12t) dt

Passo 7

Por fim, vamos integrar essa expressão de t = 0 a t = 1 para encontrar a integral de linha:
integral0^1 (8 + 12t) dt = integral0^1 8,dt + integral0^1 12t,dt = 8t g|0^1 + 6t^2 g|0^1
Calculando os limites:
8(1) - 8(0) + 6(1)^2 - 6(0)^2 = 8 + 6 = 14

Resposta

A integral de linha integral E cdot dell ao longo da reta que liga P1(2,1,-1) a P2(8,2,-1) é igual a 14.

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