Verifique se os vetores U=i+j, V=i-j, e W=k são linearmente independentes, calculando o determinante da matriz formada por eles.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os vetores U = i + j, V = i - j e W = k são linearmente independentes. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes; se for zero, são dependentes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz com os vetores U, V e W como colunas. Cada vetor tem três componentes correspondentes às direções i, j e k:
1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1
Aqui, a primeira coluna é U = (1, 1, 0), a segunda coluna é V = (1, -1, 0) e a terceira coluna é W = (0, 0, 1).

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Determinante = 1 cdot (-1) cdot 1 + 1 cdot 0 cdot 0 + 0 cdot 1 cdot 0 - (0 cdot (-1) cdot 0 + 1 cdot 0 cdot 1 + 1 cdot 1 cdot 0)
Simplificando cada termo:
= (-1) + 0 + 0 - (0 + 0 + 0) = -1

Resposta

O determinante é -1, que é diferente de zero. Portanto, os vetores U, V e W são linearmente independentes.

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