Verifique se os vetores , , e são linearmente independentes, calculando o determinante da matriz formada por eles.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os vetores , e são linearmente independentes. Para isso, vamos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes; se for zero, são dependentes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz com os vetores , e como colunas. Cada vetor tem três componentes correspondentes às direções , e :
Aqui, a primeira coluna é U = (1, 1, 0), a segunda coluna é V = (1, -1, 0) e a terceira coluna é W = (0, 0, 1).
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui: