Considere os vetores w1=(2,3,-1), w2=(1,2,3), w3=(1,0,1), w4=(0,1,0) e w5=(-4,-6,2). Escolha, dentre esses 5 vetores:
Três tais que o produto misto deles seja zero. Justifique!

Passo 1

O enunciado dá cinco vetores em R^3:
overrightarrow w1=(2,3,-1), overrightarrow w2=(1,2,3), overrightarrow w3=(1,0,1), overrightarrow w4=(0,1,0), overrightarrow w5=(-4,-6,2),
e pede para escolher três deles cujo produto misto seja zero. O conteúdo aqui é o produto misto (ou triplo escalar) e a relação com dependência linear.

Passo 2

Relembremos que o produto misto de vec a,vec b,vec c é
(vec atimes vec b)cdot vec c =det a1 & b1 & c1 a2 & b2 & c2 a3 & b3 & c3
Se esse determinante for zero, então vec a,vec b,vec c são linearmente dependentes e o produto misto anula.

Passo 3

Para encontrar vetores dependentes, basta verificar se um deles é múltiplo escalar de outro. Observemos overrightarrow w5 e overrightarrow w1.

Passo 4

Calculamos a relação entre overrightarrow w5 e overrightarrow w1:
overrightarrow w5=(-4,-6,2)=-2,(2,3,-1)=-2,overrightarrow w1
Logo, overrightarrow w5 e overrightarrow w1 são colineares.

Passo 5

Qualquer tripla que contenha overrightarrow w1 e overrightarrow w5 terá produto misto zero. Por exemplo, escolhendo
overrightarrow w1,overrightarrow w3,overrightarrow w5, temos dependência linear (pois overrightarrow w5=-2overrightarrow w1), logo
(overrightarrow w1times overrightarrow w3)cdot overrightarrow w5=0

Resposta

Uma escolha possível é overrightarrow w1,overrightarrow w3,overrightarrow w5, pois overrightarrow w5=-2,overrightarrow w1 implica produto misto zero.

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